8 Sean $a$ y $b$ enteros positivos que cumplen $\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}$ . El valor máximo posible de $\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$ es $\frac{p}{q}$ , donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $p+q$ .

7 Sea $[r,s]$ el mínimo común múltiplo de los enteros positivos $r$ y $s$. Encuentra el número de ternas ordenadas $(a,b,c)$ de enteros positivos tales que $[a,b] = 1000$, $[b,c] = 2000$ y $[c,a] = 2000$.

8 ¿Cuál es el entero positivo más grande $n$ para el cual existe un único entero $k$ tal que $\frac{8}{15} < \frac{n}{n + k} < \frac{7}{13}$?

1 Examinamos las siguientes dos sucesiones: La sucesión de Fibonacci: $F_{0}= 0, F_{1}= 1, F_{n}= F_{n-1}+F_{n-2 }$ para $n \geq 2$ ; La sucesión de Lucas: $L_{0}= 2, L_{1}= 1, L_{n}= L_{n-1}+L_{n-2}$ para $n \geq 2$ . Se sabe que para todo $n \geq 0$ \[F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\sqrt{5}},L_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}, \] donde $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Estas fórmulas pueden usarse sin demostración. Demuestre que $1+L_{2^{j}}\equiv 0 \pmod{2^{j+1}}$ para $j \geq 0$ . N.T.TUAN

El triángulo \(ABC\) tiene un ángulo recto en \(B\), y contiene un punto \(P\) para el cual \(PA = 10\), \(PB = 6\), y \(\angle APB = \angle BPC = \angle CPA\). Encuentra \(PC\).

Al baja hasta el fondo de una escalera eléctrica que se mueve hacia arriba y cuenta 150 pasos. Su amigo, Bob, sube hasta la parte superior de la escalera y cuenta 75 pasos. Si la velocidad de caminar de Al (en pasos por unidad de tiempo) es tres veces la velocidad de caminar de Bob, ¿cuántos pasos son visibles en la escalera en un momento dado? (Supón que este valor es constante.)

11 Encuentra el mayor valor posible de \(k\) para el cual \(3^{11}\) se puede expresar como la suma de \(k\) enteros positivos consecutivos.

12 Sea $m$ el entero más pequeño cuya raíz cúbica es de la forma $n+r$, donde $n$ es un entero positivo y $r$ es un número real positivo menor que $1/1000$. Encuentra $n$.

Una secuencia dada \( r_1, r_2, \dots, r_n \) de números reales distintos se puede ordenar de menor a mayor mediante una o más “pasadas de burbuja”. Una pasada de burbuja a través de una secuencia dada consiste en comparar el segundo término con el primero, e intercambiarlos si y solo si el segundo término es menor; luego comparar el tercer término con el segundo e intercambiarlos si y solo si el tercero es menor, y así sucesivamente en orden, hasta comparar el último término, \( r_n \), con su predecesor actual e intercambiarlos si y solo si el último término es menor. El ejemplo siguiente muestra cómo la secuencia 1, 9, 8, 7 se transforma en la secuencia 1, 8, 7, 9 mediante una pasada de burbuja. Los números comparados en cada paso están subrayados. \[ \begin{array}{c} \underline{1 \quad 9} \quad 8 \quad 7 \\ 1 \quad \underline{9 \quad 8} \quad 7 \\ 1 \quad 8 \quad \underline{9 \quad 7} \\ 1 \quad 8 \quad 7 \quad 9 \end{array} \] Supón que \( n = 40 \), y que los términos de la secuencia inicial \( r_1, r_2, \dots, r_{40} \) son distintos entre sí y están en orden aleatorio. Sea \( p/q \), en su forma reducida, la probabilidad de que el número que comienza como \( r_{20} \) termine, después de una pasada de burbuja, en el lugar \( 30^{\text{o}} \). Encuentra \( p + q \).

14 Calcula \[ \frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}. \]