4 Una forma de L es una de las siguientes cuatro piezas, cada una formada por tres cuadrados unitarios: [asy] size(300); defaultpen(linewidth(0.8)); path P=(1,2)--(0,2)--origin--(1,0)--(1,2)--(2,2)--(2,1)--(0,1); draw(P); draw(shift((2.7,0))*rotate(90,(1,1))*P); draw(shift((5.4,0))*rotate(180,(1,1))*P); draw(shift((8.1,0))*rotate(270,(1,1))*P); [/asy] Se dan un tablero de $5\times 5$ , formado por $25$ cuadrados unitarios, un entero positivo $k\leq 25$ y un suministro ilimitado de formas de L. Dos jugadores, A y B, juegan el siguiente juego: comenzando con A, marcan alternadamente un cuadrado unitario previamente sin marcar hasta haber marcado un total de $k$ cuadrados unitarios. Decimos que una colocación de formas de L sobre cuadrados unitarios sin marcar se llama $\textit{good}$ si las formas de L no se superponen y cada una de ellas cubre exactamente tres cuadrados unitarios sin marcar del tablero. B gana si toda colocación $\textit{good}$ de formas de L deja sin cubrir al menos tres cuadrados unitarios sin marcar. Determine el valor mínimo de $k$ para el cual B tiene una estrategia ganadora.

2013 g2 Sea $T$ el vértice de un ángulo, $R$ un punto en su interior y $Q$ la intersección de uno de los lados del ángulo con un rayo que pasa por $R$ ; el rayo se refleja en $Q$ e interseca el otro lado del ángulo en $V$ ; el rayo se refleja nuevamente en $V$ y es tal que pasa por $R$ . Sean $\ell_1$ y $\ell_2$ las respectivas bisectrices de los ángulos $VQR$ y $RVQ$ . Sea $M$ el punto de intersección de $\ell_1$ con la recta $TV$ . Sea $N$ el punto de intersección de $\ell_2$ con la recta $TQ$ . Demuestre que los puntos $M, R$ y $N$ son colineales.

2 La sucesión ( $a_n$ ) está definida por $a_1 = a_2 = 1$ y $a_{n+2 }= a_{n+1} +a_n +k$ , donde $k$ es un entero positivo. Halle el menor $k$ para el cual $a_{1991}$ y $1991$ no son coprimos.

1 Sea $M=\{A_{1},A_{2},\ldots,A_{5}\}$ un conjunto de cinco puntos en el plano tal que el área de cada triángulo $A_{i}A_{j}A_{k}$ es mayor que 3. Demuestre que existe un triángulo con vértices en $M$ y cuyo área es mayor que 4. Laurentiu Panaitopol

A1 Los números reales $a$ y $b$ satisfacen $a^3+b^3-6ab=-11$ . Demuestre que $-\frac{7}{3}<a+b<-2$ . Propuesto por Serbia

2016 g1 Sea $ABC$ un triángulo y sea $D$ el punto medio de $AC$ . Sea $H$ la intersección de la paralela a $BD$ trazada por $A$ con la paralela a $BA$ trazada por $D$ . Sea $E$ el más cercano a $C$ de los puntos que trisecan $BC$ . Demuestre que $ED$ biseca a $AH$ .

4 Una sucesión $(a_n)$ de enteros positivos satisface $(a_m,a_n) = a_{(m,n)}$ para todos $m,n$ . Demuestre que existe una única sucesión $(b_n)$ de enteros positivos tal que $a_n = \prod_{d|n} b_d$

3 Demuestre la siguiente identidad para todo $ n\in N$ : $ \sum_{j+h=n,j\geq h}\frac{(-1)^h2^{j-h}\binom{j}{h}}{j}=\frac{2}{n}$

1 Sean $ a_1, a_2,\ldots, a_n$ números reales no negativos. Demuestre que $\frac{1}{1+ a_1}+\frac{ a_1}{(1+ a_1)(1+ a_2)}+\frac{ a_1 a_2}{(1+ a_1)(1+ a_2)(1+ a_3)}+$ $\cdots+\frac{ a_1 a_2\cdots a_{n-1}}{(1+ a_1)(1+ a_2)\cdots (1+ a_n)} \le 1.$

2 Las circunferencias $Q_1$ y $Q_2$ son tangentes entre sí externamente en $T$. Los puntos $A$ y $E$ están en $Q_1$, las rectas $AB$ y $DE$ son tangentes a $Q_2$ en $B$ y $D$, respectivamente, y las rectas $AE$ y $BD$ se cortan en el punto $P$. Demuestre que (1) $\frac{AB}{AT}=\frac{ED}{ET}$; (2) $\angle ATP + \angle ETP = 180^{\circ}$. [asy]import graph; size(5.97cm); real lsf=0.5; pathpen=linewidth(0.7); pointpen=black; pen fp=fontsize(10); pointfontpen=fp; real xmin=-6,xmax=5.94,ymin=-3.19,ymax=3.43; pair Q_1=(-2.5,-0.5), T=(-1.5,-0.5), Q_2=(0.5,-0.5), A=(-2.09,0.41), B=(-0.42,1.28), D=(-0.2,-2.37), P=(-0.52,2.96); D(CR(Q_1,1)); D(CR(Q_2,2)); D(A--B); D((-3.13,-1.27)--D); D(P--(-3.13,-1.27)); D(P--D); D(T--(-3.13,-1.27)); D(T--A); D(T--P); D(Q_1); MP("Q_1",(-2.46,-0.44),NE*lsf); D(T); MP("T",(-1.46,-0.44),NE*lsf); D(Q_2); MP("Q_2",(0.54,-0.44),NE*lsf); D(A); MP("A",(-2.22,0.58),NE*lsf); D(B); MP("B",(-0.35,1.45),NE*lsf); D((-3.13,-1.27)); MP("E",(-3.52,-1.62),NE*lsf); D(D); MP("D",(-0.17,-2.31),NE*lsf); D(P); MP("P",(-0.47,3.02),NE*lsf); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); [/asy]