2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean los puntos $D, E$ y $F$ los pies de las alturas trazadas desde los vértices $A, B$ y $C$ . Demuestre: si $AF = CF$ , entonces los segmentos $DE$ y $DF$ son perpendiculares. (Karl Czakler)

3 ¿Cuántos números de cuatro dígitos hay en el sistema decimal tales que el dígito de los millares es mayor que todos los demás dígitos? (Gerhard Kirchner)

4 Considere todos los números de la forma $$20^n + 2 \cdot 5^n,$$ donde $n \ge 2025$ es un entero. Determine el mayor entero $k$ que divide a cada uno de estos números. (Walther Janous)

8.1 Halle todos los números de dos dígitos que no son divisibles por $10$ y tienen la siguiente propiedad: el producto de este número por el número obtenido al invertir sus dígitos es igual a un cuadrado de un número natural.

8.2 En $128$ tarjetas están escritas todas las sucesiones binarias de longitud $7$ (formadas solo por ceros y unos), cada sucesión en su propia tarjeta. Dos tarjetas se llaman similares si las sucesiones escritas en ellas difieren en exactamente tres posiciones. ¿Cuál es el número máximo de tarjetas que se pueden elegir de modo que no haya dos de ellas similares?

8.3 Dos trinomios cuadráticos $f(x)$ y $g(x)$ satisfacen $$ f(3) + g(1) = 0, \quad f(5) + g(2) = 3, \quad f(7) + g(3) = 8. $$ Halle todos los valores posibles de la suma $f(91) + g(45)$ .

8.4 En el plano se dibujan un cuadrado $ABCD$ con centro $O$ y un triángulo equilátero $ABK$ , donde el punto $K$ está dentro del cuadrado. Sobre la recta $CK$ se elige un punto $L \ne K$ tal que $OK = OL$ . El punto $M$ es el punto medio del segmento $CD$ . Demuestre que el segmento $KD$ es dos veces más largo que el segmento $LM$ .

8.5 Dasha y Maksim están ahorrando juntos desde cero para comprar una computadora nueva. Con ese propósito, consiguieron trabajos y ahorran todo el dinero que ganan. Ya han trabajado durante un mes, pero el dinero todavía no alcanza. Se sabe que si el próximo mes el salario de Maksim se duplica mientras que el de Dasha no aumenta, entonces para el final del segundo mes podrán comprar una computadora, pero no tendrán suficiente dinero para dos. Si, por otro lado, el próximo mes el salario de Dasha se septuplica mientras que el de Maksim no, entonces para el final del segundo mes podrán comprar dos de tales computadoras, pero no tendrán suficiente dinero para una tercera. ¿Cuántos meses le tomaría a Dasha ahorrar suficiente dinero para comprar ella sola una computadora de este tipo?

8.6 Se dan un paralelogramo $ABCD$ y un punto $E$ exterior a él. Los puntos $F$ y $G$ son tales que los cuadriláteros $EBFA$ y $ECGD$ son paralelogramos. Las rectas $FA$ y $GD$ se intersecan en el punto $P$ , y las rectas $FB$ y $GC$ se intersecan en el punto $Q$ . Demuestre que $EP = EQ$ .

2 Sea $a_1,a_2,\ldots$ una sucesión de enteros positivos. Para cada entero positivo $n$, define $b_n=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$. Supón que todos los $b_1,b_2,\ldots$ son enteros positivos, y que cada entero positivo aparece exactamente una vez entre los valores $b_1,b_2,\ldots$. Determina todas las sucesiones posibles { $a_n$ }.