Tres puntos $A,B,C$ son tales que $B \in ]AC[$ . En el lado de $AC$ dibujamos los tres semicírculos con diámetros $[AB], [BC]$ y $[AC]$ . La tangente interior común en $B$ a los dos primeros semicírculos se encuentra con el tercer círculo en $E$ . Sean $U$ y $V$ los puntos de contacto de la tangente exterior común a los dos primeros semicírculos. Denotemos el área del triángulo $ABC$ como $S(ABC)$ . Evalúa la razón $R=\frac{S(EUV)}{S(EAC)}$ como una función de $r_1 = \frac{AB}{2}$ y $r_2 = \frac{BC}{2}$ .

La función $f$ está definida en el conjunto $\mathbb{Q}$ de todos los números racionales y tiene valores en $\mathbb{Q}$ . Satisface las condiciones $f(1) = 2$ y $f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) + 1$ para todo $x,y \in \mathbb{Q}$ . Determina $f$ .

Encuentra los dígitos a la izquierda y a la derecha del punto decimal en la forma decimal del número \[ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{1980}. \]

Determine todas las funciones $f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ tales que, para todos los enteros positivos $a$ y $b$ , \\[\nf^{bf(a)}(a+1)=(a+1)f(b).\n\]

Sean $a,b,c,d$ enteros positivos que satisfacen \[\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}=\frac{(a+b)(c+d)}{a+b+c+d}.\] Determine todos los valores posibles de $a+b+c+d$ .

Una secuencia de enteros $a_0, a_1 …$ se llama kawaii si $a_0 =0, a_1=1,$ y $$(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n)(a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n)=0$$ para todos los enteros $n \geq 0$ . Un entero se llama kawaii si pertenece a alguna secuencia kawaii. Suponga que dos enteros consecutivos $m$ y $m+1$ son ambos kawaii (no necesariamente pertenecientes a la misma secuencia kawaii). Demuestre que $m$ es divisible por $3,$ y que $m/3$ también es kawaii.

Sean $a_1<a_2<a_3<\dots$ enteros positivos tales que $a_{k+1}$ divide a $2(a_1+a_2+\dots+a_k)$ para todo $k\geqslant 1$ . Suponga que para infinitos primos $p$ , existe $k$ tal que $p$ divide a $a_k$ . Demuestre que para todo entero positivo $n$ , existe $k$ tal que $n$ divide a $a_k$ .

Sean $a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n$ $2n$ enteros positivos tales que los $n+1$ productos \[a_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 b_2 a_3 \cdots a_n, \dots, b_1 b_2 b_3 \cdots b_n\] forman una progresión aritmética estrictamente creciente en ese orden. Determine el entero más pequeño posible que podría ser la diferencia común de tal progresión aritmética.

Para enteros positivos $n$ y $k \geq 2$ , defina $E_k(n)$ como el mayor exponente $r$ tal que $k^r$ divide a $n!$ . Demuestre que hay infinitos $n$ tales que $E_{10}(n) > E_9(n)$ e infinitos $m$ tales que $E_{10}(m) < E_9(m)$ .

Determine todos los pares ordenados $(a,p)$ de enteros positivos, con $p$ primo, tales que $p^a+a^4$ es un cuadrado perfecto.