Dada una secuencia $\{a_n\}$ de números reales tal que $|a_{k+m} - a_k - a_m| \leq 1$ para todos los enteros positivos $k$ y $m$ , demuestre que, para todos los enteros positivos $p$ y $q$ , $\[|\frac{a_p}{p} - \frac{a_q}{q}| < \frac{1}{p} + \frac{1}{q}.\]

Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo y, para $1 \leq i \leq 3$ , sea $B_i$ un punto interior del borde opuesto a $A_i$ . Demostrar que las bisectrices perpendiculares de $A_iB_i$ para $1 \leq i \leq 3$ no son concurrentes.

Demostrar que $\sum \frac{1}{i_1i_2 \ldots i_k} = n$ se toma sobre todos los subconjuntos no vacíos $\left\{i_1,i_2, \ldots, i_k\right\}$ de $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$ . (El $k$ no está fijo, por lo que estamos sumando sobre todos los $2^n-1$ posibles subconjuntos no vacíos.)

Demuestre que la suma de los seis ángulos subtendidos en un punto interior de un tetraedro por sus seis aristas es mayor que 540°.

Sea $\{x_n\}$ una secuencia de números naturales tal que \[(a) 1 = x_1 < x_2 < x_3 < \ldots; \quad (b) x_{2n+1} \leq 2n \quad \forall n.\]\nDemuestre que, para cada número natural $k$ , existen términos $x_r$ y $x_s$ tales que $x_r - x_s = k.$

Dados tres progresiones aritméticas infinitas de números naturales tales que cada uno de los números 1,2,3,4,5,6,7 y 8 pertenece al menos a una de ellas, demuestre que el número 1980 también pertenece al menos a una de ellas.

Encuentra todos los pares de soluciones $(x,y)$ : \[ x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1). \]

Diez jugadores comenzaron a jugar con la misma cantidad de dinero. En cada turno, lanzan cinco dados. En cada etapa, el jugador que lanzó pagó a cada uno de sus 9 oponentes $\frac{1}{n}$ veces la cantidad que ese oponente poseía en ese momento. Lanzaron y pagaron uno tras otro. En la décima ronda (es decir, cuando cada jugador ha lanzado los cinco dados una vez), los dados mostraron un total de 12, y después del pago resultó que cada jugador tenía exactamente la misma suma que al principio. ¿Es posible determinar el total mostrado por los dados en las nueve rondas anteriores?

Dos círculos $C_{1}$ y $C_{2}$ son tangentes (externa o internamente) en un punto $P$ . La línea recta $D$ es tangente en $A$ a uno de los círculos y corta al otro círculo en los puntos $B$ y $C$ . Demuestra que la línea recta $PA$ es una bisectriz interior o exterior del ángulo $\angle BPC$ .

Sea $p$ un número primo. Demuestra que no hay ningún número divisible por $p$ en la fila $n-ésima$ del triángulo de Pascal si y solo si $n$ puede ser representado en la forma $n = p^sq - 1$ , donde $s$ y $q$ son enteros con $s \geq 0, 0 < q < p$ .