El incírculo $ \Omega$ del triángulo acutángulo $ ABC$ es tangente a su lado $ BC$ en un punto $ K$ . Sea $ AD$ una altura del triángulo $ ABC$ , y sea $ M$ el punto medio del segmento $ AD$ . Si $ N$ es el punto común del círculo $ \Omega$ y la línea $ KM$ (distinto de $ K$ ) , entonces demuestre que el incírculo $ \Omega$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $ BCN$ son tangentes entre sí en el punto $ N$ .

Sea $n\geq3$ un entero positivo. Sean $C_1,C_2,C_3,\ldots,C_n$ círculos unitarios en el plano, con centros $O_1,O_2,O_3,\ldots,O_n$ respectivamente. Si ninguna línea se encuentra con más de dos de los círculos, demuestre que \[ \sum\limits^{}_{1\leq i<j\leq n}{1\over O_iO_j}\leq{(n-1)\pi\over 4}. \]

Para cualquier conjunto $S$ de cinco puntos en el plano, de los cuales no hay tres que sean colineales, sea $M(S)$ y $m(S)$ denotan las \'areas mayor y menor, respectivamente, de los tri\'angulos determinados por tres puntos de $S$ . ¿Cu\'al es el valor m\'inimo posible de $M(S)/m(S)$ ?

Los c\'irculos $S_1$ y $S_2$ se intersecan en los puntos $P$ y $Q$ . Se seleccionan puntos distintos $A_1$ y $B_1$ (no en $P$ o $Q$ ) en $S_1$ . Las l\'ineas $A_1P$ y $B_1P$ se encuentran con $S_2$ nuevamente en $A_2$ y $B_2$ respectivamente, y las l\'ineas $A_1B_1$ y $A_2B_2$ se encuentran en $C$ . Demuestre que, a medida que $A_1$ y $B_1$ var\'ian, los circuncentros de los tri\'angulos $A_1A_2C$ se encuentran en un c\'irculo fijo.

El c\'irculo $S$ tiene centro $O$ , y $BC$ es un di\'ametro de $S$ . Sea $A$ un punto de $S$ tal que $\angle AOB<120{{}^\circ}$ . Sea $D$ el punto medio del arco $AB$ que no contiene a $C$ . La l\'inea que pasa por $O$ paralela a $DA$ se encuentra con la l\'inea $AC$ en $I$ . La bisectriz perpendicular de $OA$ se encuentra con $S$ en $E$ y en $F$ . Pruebe que $I$ es el incentro del tri\'angulo $CEF.$

Sea $ABC$ un triángulo para el cual existe un punto interior $F$ tal que $\angle AFB=\angle BFC=\angle CFA$. Sean las líneas $BF$ y $CF$ que se encuentran con los lados $AC$ y $AB$ en $D$ y $E$ respectivamente. Demuestre que \[ AB+AC\geq4DE. \]

Sea $B$ un punto en un círculo $S_1$, y sea $A$ un punto distinto de $B$ en la tangente a $S_1$ en $B$. Sea $C$ un punto que no está en $S_1$ tal que el segmento de línea $AC$ se encuentra con $S_1$ en dos puntos distintos. Sea $S_2$ el círculo que toca a $AC$ en $C$ y que toca a $S_1$ en un punto $D$ en el lado opuesto de $AC$ desde $B$. Pruebe que el circuncentro del triángulo $BCD$ se encuentra en la circunferencia del triángulo $ABC$.

Sea $AB$ un diámetro de un círculo; sean $t_1$ y $t_2$ las tangentes en $A$ y $B$, respectivamente; sea $C$ cualquier punto distinto de $A$ en $t_1$; y sean $D_1D_2. E_1E_2$ arcos en el círculo determinados por dos líneas que pasan por $C$. Pruebe que las líneas $AD_1$ y $AD_2$ determinan un segmento en $t_2$ de igual longitud al del segmento en $t_2$ determinado por $AE_1$ y $AE_2$.

Sea $S$ un conjunto de 1980 puntos en el plano tal que la distancia entre cada par de ellos es al menos 1. Demuestre que $S$ tiene un subconjunto de 220 puntos tal que la distancia entre cada par de ellos es al menos $\sqrt{3}.$

Encuentre el mayor número natural $n$ tal que existan números naturales $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ y naturales $a_{1}< a_{2}< \ldots < a_{n-1}$ que satisfagan las siguientes ecuaciones para $i =1,2,\ldots,n-1$ : $\[x_{1}x_{2}\ldots x_{n}= 1980 \quad \text{y}\quad x_{i}+\frac{1980}{x_{i}}= a_{i}.\]