Encuentra todas las funciones $f$ de los reales a los reales tales que \[ \left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)=f(xy-zt)+f(xt+yz) \] para todo real $x,y,z,t$ .

Sea $P$ un polinomio cúbico dado por $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ , donde $a,b,c,d$ son enteros y $a\ne0$ . Supongamos que $xP(x)=yP(y)$ para infinitos pares $x,y$ de enteros con $x\ne y$ . Demuestra que la ecuación $P(x)=0$ tiene una raíz entera.

Sea $k$ un número natural arbitrario. Sea $\{m_1,m_2,\ldots{},m_k\}$ una permutación de $\{1,2,\ldots{},k\}$ tal que $a_{m_1} < a_{m_2} < \cdots{} < a_{m_k}$ . Notemos que nunca podemos tener igualdad ya que $|a_{m_i} - a_{m_{i+1}}| \ge \frac{1}{m_i+m_{i+1}}$ . Sea $\overline{a_ia_j} = |a_i-a_j|$ . Viendo los $a_i$ como un conjunto de intervalos en $[0,c]$ , tiene sentido que $\overline{a_{m_1}a_{m_k}} = \sum \limits_{i=1}^{k-1} \overline{a_{m_i}a_{m_{i+1}}}$ . $\overline{a_{m_i}a_{m_k}} \ge \sum\limits_{i=1}^{k-1} \frac{1}{m_i+m_{i+1}}$ . Por la desigualdad de las Medias Aritmética y Armónica, $\frac{(a_1+a_2) + (a_2+a_3) + \ldots{} + (m_{k-1}+m_k)}{k-1} \ge \frac{k-1}{\frac{1}{m_1+m_2} + \ldots{} + \frac{1}{m_{k-1}+m_k}}$ . $(m_1+2m_2+\ldots{}+2m_{k-1}+2m_k)\left(\frac{1}{m_1+m_2} + \ldots{} + \frac{1}{m_{k-1}+m_k}\right) \ge (k-1)^2$ . $(\overline{a_{m_1}a_{m_k}})(m_1+2m_2+\ldots{}+2m_{k-1}+m_k) \ge (k-1)^2$ . El término derecho del lado izquierdo es menor que $2(m_1+m_2+\ldots{}+m_k)$ : $2\overline{a_{m_1}a_{m_k}}(m_1+m_2+\ldots{}+m_k) > (k-1)^2$ Ya que $\{m_1,m_2,\ldots{},m_k\}$ es una permutación de $\{1,2,\ldots{},k\}$ , $2\overline{a_{m_1}a_{m_k}} \cdot \frac{k(k+1)}{2} > (k-1)^2$ . $\overline{a_{m_1}a_{m_k}} > \frac{(k-1)^2}{k(k+1)} = \frac{k-1}{k} \cdot \frac{k-1}{k+1} > \left(\frac{k-1}{k+1}\right)^2 = \left(1-\frac{2}{k+1}\right)^2$ . Si $\overline{a_{m_1}a_{m_k}} < 1$ para todo $k \in \mathbb N$ , podemos encontrar fácilmente un $k$ tal que $\left(1-\frac{2}{k+1}\right)^2 > \overline{a_{m_1}a_{m_k}}$ , causando una contradicción. Así que $\overline{a_{m_1}a_{m_k}} \ge 1$ para algunos enteros $m_1$ , $m_k$ . $|a_{m_1}-a_{m_k}| \ge 1$ . Ya que ambos términos son positivos, es claro que al menos uno de ellos es mayor o igual que $1$ . Así que $c \ge 1$ , como queríamos.

Hallar todos los pares de enteros positivos $m,n\geq3$ para los cuales existen infinitos enteros positivos $a$ tales que \[ \frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1} \] sea un entero.

Sean $m,n\geq2$ enteros positivos, y sean $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ enteros, ninguno de los cuales es múltiplo de $m^{n-1}$ . Demuestra que existen enteros $e_1,e_2,\ldots,e_n$ , no todos cero, con $\left|{\,e}_i\,\right|<m$ para todo $i$ , tales que $e_1a_1+e_2a_2+\,\ldots\,+e_na_n$ es un múltiplo de $m^n$ .

¿Existe un entero positivo $m$ tal que la ecuación \[ {1\over a}+{1\over b}+{1\over c}+{1\over abc}={m\over a+b+c} \] tiene infinitas soluciones en enteros positivos $a,b,c$ ?

Sean $p_1,p_2,\ldots,p_n$ primos distintos mayores que $3$ . Demuestra que $2^{p_1p_2\cdots p_n}+1$ tiene al menos $4^n$ divisores.

Sea $a_1,a_2,\ldots$ una sucesión infinita de números reales, para la cual existe un número real $c$ con $0\leq a_i\leq c$ para todo $i$ , tal que \[\left\lvert a_i-a_j \right\rvert\geq \frac{1}{i+j} \quad \text{para todo }i,\ j \text{ con } i \neq j. \] Demostrar que $c\geq1$ .

Hallar todas las funciones $f$ de los reales a los reales tales que \[f\left(f(x)+y\right)=2x+f\left(f(y)-x\right)\] para todo real $x,y$ .

Sean dos círculos $S_{1}$ y $S_{2}$ que se intersecan en los puntos $A$ y $B$ . Una línea que pasa por $A$ se encuentra con $S_{1}$ de nuevo en $C$ y con $S_{2}$ de nuevo en $D$ . Sean $M$ , $N$ , $K$ tres puntos en los segmentos de línea $CD$ , $BC$ , $BD$ respectivamente, con $MN$ paralelo a $BD$ y $MK$ paralelo a $BC$ . Sean $E$ y $F$ puntos en esos arcos $BC$ de $S_{1}$ y $BD$ de $S_{2}$ respectivamente que no contienen $A$ . Dado que $EN$ es perpendicular a $BC$ y $FK$ es perpendicular a $BD$ , demuestre que $\angle EMF=90^{\circ}$ .