Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle ACB=90^o$. Sean $E, F$ respectivamente los puntos medios de $BC, AC$ y $CD$ su altura. Luego, sea $P$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo interno desde $A$ y la línea $EF$. Prueba que $P$ es el centro del círculo inscrito en el triángulo $CDE$.

Los números reales $x, y$ satisfacen la desigualdad $x^2 + y^2 \le 2$. Prueba que $xy + 3 \ge 2x + 2y$.

Decide si los vértices de un $30$ - gono regular se pueden numerar con los números $1, 2,.., 30$ de tal manera que la suma de los números de cada dos vecinos sea el cuadrado de un cierto número natural.

En el triángulo rectángulo $ABC$ con el lado más corto $AC$, la hipotenusa $AB$ tiene longitud $12$. Denota $T$ su centroide y $D$ el pie de la altura desde el vértice $C$. Determina el tamaño de su ángulo interno en el vértice $B$ para el cual el triángulo $DTC$ tiene la mayor área posible.

De un grupo de 120 personas, algunos pares son amigos. Un cuarteto débil es un conjunto de cuatro personas que contiene exactamente un par de amigos. ¿Cuál es el número máximo posible de cuartetos débiles?

Sea $n$ un entero positivo par. Demuestra que existe una permutación $\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$ de $\left(1,\,2,\,\ldots,n\right)$ tal que para cada $i\in\left\{1,\ 2,\ ...,\ n\right\}$ , el número $x_{i+1}$ es uno de los números $2x_{i}$ , $2x_{i}-1$ , $2x_{i}-n$ , $2x_{i}-n-1$ . Por la presente, utilizamos la convención de subíndices cíclicos, de modo que $x_{n+1}$ significa $x_{1}$ .

Sea $r\geq2$ un entero positivo fijo, y sea $F$ una familia infinita de conjuntos, cada uno de tamaño $r$ , de los cuales no hay dos disjuntos. Demuestra que existe un conjunto de tamaño $r-1$ que se cruza con cada conjunto en $F$ .

Sea $T$ el conjunto de ternas ordenadas $(x,y,z)$ , donde $x,y,z$ son enteros con $0\leq x,y,z\leq9$ . Los jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego de adivinanzas. El jugador $A$ elige una terna $(x,y,z)$ en $T$ , y el jugador $B$ tiene que descubrir la terna de $A$ en el menor número de movimientos posible. Un movimiento consiste en lo siguiente: $B$ le da a $A$ una terna $(a,b,c)$ en $T$ , y $A$ responde dándole a $B$ el número $\left|x+y-a-b\right |+\left|y+z-b-c\right|+\left|z+x-c-a\right|$ . Encuentra el número mínimo de movimientos que $B$ necesita para estar seguro de determinar la terna de $A$.

Sea $A$ un conjunto no vacío de enteros positivos. Supongamos que hay enteros positivos $b_1,\ldots b_n$ y $c_1,\ldots,c_n$ tales que - para cada $i$ el conjunto $b_iA+c_i=\left\{b_ia+c_i\colon a\in A\right\}$ es un subconjunto de $A$ , y - los conjuntos $b_iA+c_i$ y $b_jA+c_j$ son disjuntos siempre que $i\ne j$ Demuestra que \[{1\over b_1}+\,\ldots\,+{1\over b_n}\leq1.\]

Sea $n$ un entero positivo que no es un cubo perfecto. Define números reales $a,b,c$ por \[a=\root3\of n\kern1.5pt,\qquad b={1\over a-[a]}\kern1pt,\qquad c={1\over b-[b]}\kern1.5pt,\] donde $[x]$ denota la parte entera de $x$ . Demuestra que hay infinitos enteros $n$ con la propiedad de que existen enteros $r,s,t$ , no todos cero, tales que $ra+sb+tc=0$ .