El juego de adivinanzas del mentiroso es un juego jugado entre dos jugadores $A$ y $B$. Las reglas del juego dependen de dos enteros positivos $k$ y $n$ los cuales son conocidos por ambos jugadores. Al inicio del juego $A$ escoge enteros $x$ y $N$ con $1 \le x \le N.$ El jugador $A$ mantiene $x$ secreto, y le dice honestamente $N$ al jugador $B$. El jugador $B$ ahora intenta obtener información sobre $x$ preguntándole al jugador $A$ preguntas de la siguiente manera: cada pregunta consiste en que $B$ especifica un conjunto arbitrario $S$ de enteros positivos (posiblemente uno especificado en alguna pregunta anterior), y preguntándole a $A$ si $x$ pertenece a $S$. El jugador $B$ puede hacer tantas preguntas como desee. Después de cada pregunta, el jugador $A$ debe responderla inmediatamente con sí o no, pero se le permite mentir tantas veces como quiera; la única restricción es que, entre cada $k+1$ respuestas consecutivas, al menos una respuesta debe ser veraz. Después de que $B$ ha hecho tantas preguntas como quiere, debe especificar un conjunto $X$ de a lo sumo $n$ enteros positivos. Si $x$ pertenece a $X$, entonces $B$ gana; de lo contrario, pierde. Demuestre que: 1. Si $n \ge 2^k,$ entonces $B$ puede garantizar una victoria. 2. Para todo $k$ suficientemente grande, existe un entero $n \ge (1.99)^k$ tal que $B$ no puede garantizar una victoria.

Sea $n\ge 3$ un entero, y sean $a_2,a_3,\ldots ,a_n$ números reales positivos tales que $a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=1$. Demuestre que \[(1 + a_2)^2 (1 + a_3)^3 \dotsm (1 + a_n)^n > n^n.\]

Dado un triángulo $ABC$, sea $J$ el centro del excírculo opuesto al vértice $A$. Este excírculo es tangente al lado $BC$ en $M$, y a las rectas $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$, respectivamente. Las rectas $LM$ y $BJ$ se intersecan en $F$, y las rectas $KM$ y $CJ$ se intersecan en $G$. Sea $S$ el punto de intersección de las rectas $AF$ y $BC$, y sea $T$ el punto de intersección de las rectas $AG$ y $BC$. Demuestre que $M$ es el punto medio de $ST$. (El excírculo de $ABC$ opuesto al vértice $A$ es el círculo que es tangente al segmento de recta $BC$, al rayo $AB$ más allá de $B$, y al rayo $AC$ más allá de $C$.)

Los vértices del cubo están asignados $1, 2, 3..., 8$ y luego a cada arista le asignamos el producto de los números asignados a sus dos puntos extremos. Determina el mayor valor posible de la suma de los números asignados a las doce aristas del cubo.

Encuentra la constante real más pequeña $p$ para la cual se cumple la desigualdad $\sqrt{ab} - \frac{2ab}{a + b} \le p \left( \frac{a + b}{2} - \sqrt{ab}\right)$ con cualquier número real positivo $a, b$.

Determina todos los pares de enteros positivos $(a, b)$ tales que $a + b + (gcd (a, b))^2 = lcm (a, b) = 2 \cdot lcm(a - 1, b)$, donde $lcm (a, b)$ denota el mínimo común múltiplo, y $gcd (a, b)$ denota el máximo común divisor de los números $a, b$.

Los puntos diferentes $A$ y $D$ están en el mismo lado de la línea $BC$, con $|AB| = |BC| = |CD|$ y las líneas $AD$ y $BC$ son perpendiculares. Sea $E$ el punto de intersección de las líneas $AD$ y $BC$. Prueba que $||BE| - |CE|| < |AD| \sqrt3$

Quitamos el cuadrado central de $2 \times 2$ de un tablero de $8 \times 8$. a) ¿Cuántas damas se pueden colocar en las $60$ casillas restantes para que no haya dos que se amenacen? b) ¿Cuántas damas al menos se pueden colocar en el tablero para que amenacen todas las $60$ casillas? (Una dama está amenazando la casilla en la que se encuentra, así como cualquier casilla a la que pueda llegar en un movimiento sin pasar por ninguna de las cuatro casillas eliminadas).

Sea $I$ el centro del círculo inscrito del triángulo $ABC$ y $M$ el centro de su lado $BC$. Si $|AI| = |MI|$, prueba que hay dos de los lados del triángulo $ABC$, de los cuales uno es el doble del otro.

Determina todos los números naturales $n > 1$ con la propiedad: Para cada divisor $d > 1$ del número $n$, entonces $d - 1$ es un divisor de $n - 1$.