Veintiuna chicas y veintiún chicos participaron en una competencia matemática. Resultó que cada concursante resolvió a lo sumo seis problemas, y para cada par de una chica y un chico, hubo al menos un problema que fue resuelto tanto por la chica como por el chico. Demostrar que hay un problema que fue resuelto por al menos tres chicas y al menos tres chicos.

Demostrar que para todos los números reales positivos $a,b,c$ , \n\[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1. \]

Consideremos un triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $P$ el pie de la altura del triángulo $ABC$ que sale del vértice $A$ , y sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ . Asumamos que $\angle C \geq \angle B+30^{\circ}$ . Demostrar que $\angle A+\angle COP < 90^{\circ}$ .

Un rectángulo de $9\times 7$ está cubierto con baldosas de los dos tipos: baldosas en forma de L compuestas por tres cuadrados unitarios (se pueden rotar repetidamente con $90^\circ$ ) y baldosas cuadradas compuestas por cuatro cuadrados unitarios. Sea $n\ge 0$ el número de baldosas de $2 \times 2$ que se pueden usar en tal mosaico. Encuentra todos los valores de $n$ .

Sean $AL$ y $BK$ bisectrices angulares en el triángulo no isósceles $ABC$ ( $L$ se encuentra en el lado $BC$ , $K$ se encuentra en el lado $AC$ ) . La mediatriz de $BK$ interseca a la línea $AL$ en el punto $M$ . El punto $N$ se encuentra en la línea $BK$ tal que $LN$ es paralela a $MK$ . Demuestra que $LN = NA$ .

Encuentra todos los enteros $n$ , $n \ge 1$ , tales que $n \cdot 2^{n+1}+1$ es un cuadrado perfecto.

Los números reales $a$ , $b$ , $c$ , $d$ satisfacen simultáneamente las ecuaciones\n\[abc -d = 1, \ \ \ bcd - a = 2, \ \ \ cda- b = 3, \ \ \ dab - c = -6.\]\nDemuestra que $a + b + c + d \not = 0$ .

Encuentre todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ tales que \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BCA=90^{\circ}$, y sea $D$ el pie de la altitud desde $C$. Sea $X$ un punto en el interior del segmento $CD$. Sea $K$ el punto en el segmento $AX$ tal que $BK=BC$. Similarmente, sea $L$ el punto en el segmento $BX$ tal que $AL=AC$. Sea $M$ el punto de intersección de $AL$ y $BK$. Demuestre que $MK=ML$.

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z$ tales que, para todos los enteros $a,b,c$ que satisfacen $a+b+c=0$, la siguiente igualdad se cumple: \[f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).\] (Aquí $\mathbb{Z}$ denota el conjunto de los enteros.)