Inicialmente, los números $1$ y $2$ están escritos en el pizarrón. Un movimiento consiste en elegir un número real positivo $x$ y reemplazar $(a,b)$ en el pizarrón por $\left(a+\frac{x}{b},b+\frac{x}{a}\right)$ . ¿Es posible crear en infinitos movimientos una situación donde los números en el pizarrón sean $2$ y $3$ ?

Encuentre todos los enteros $k$ para los cuales, existe una función $f: N \to Z$ que satisface: (i) $f(1995) = 1996$ (ii) $f(xy) = f(x) + f(y) + kf(m_{xy})$ para todos los números naturales $x, y$ , donde $ m_{xy}$ denota el máximo común divisor de los números $x, y$ . Aclaración: $N = \{1,2,3,...\}$ y $Z = \{...-2,-1,0,1,2,...\}$ .

Hay un tablero con $n$ filas y $4$ columnas, y fichas blancas, amarillas y celestes. El jugador $A$ coloca cuatro fichas en la primera fila del tablero y las cubre para que el jugador $B$ no las vea. ¿Cómo debe hacer el jugador $B$ para llenar el mínimo número de filas con fichas que aseguren que en cualquiera de las filas tenga al menos tres aciertos? Aclaración: Un acierto del jugador $B$ ocurre cuando coloca una ficha del mismo color y en la misma columna que $A$ .

Sea $S$ la circunferencia de centro $O$ y radio $R$ , y sean $A, A'$ dos puntos diametralmente opuestos en $S$ . Sea $P$ el punto medio de $OA'$ y $\ell$ una recta que pasa por $P$ , distinta de $AA '$ y de la perpendicular sobre $AA '$ . Sean $B$ y $C$ los puntos de intersección de $\ell$ con $S$ y sea $M$ el punto medio de $BC$ . a) Sea $H$ el pie de la altura desde $A$ en el triángulo $ABC$ . Sea $D$ el punto de intersección de la recta $A'M$ con $AH$ . Determine el lugar geométrico del punto $D$ mientras $\ell$ varía . b) La recta $AM$ interseca a $OD$ en $I$ . Pruebe que $2 OI = ID$ y determine el lugar geométrico del punto $I$ mientras $\ell$ varía .

Los números reales $x, y, z$ , distintos en parejas satisfacen $$\begin{cases} x^2=2 + y \\ y^2=2 + z \\ z^2=2 + x.\end{cases}$$ Encuentre los posibles valores de $x^2 + y^2 + z^2$ .

Un cuadrado mágico es una tabla https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/7/9/3b1e2b2f5d2d4c486f57c4ad68b66f7d7e56dd.png en la que aparecen todos los números naturales del $1$ al $16$ y tal que: $\bullet$ todas las filas tienen la misma suma $s$ . $\bullet$ todas las columnas tienen la misma suma $s$ . $\bullet$ ambas diagonales tienen la misma suma $s$ . Se sabe que $a_{22} = 1$ y $a_{24} = 2$ . Calcular $a_{44}$ .

Dada una familia $C$ de circunferencias del mismo radio $R$ , que cubre completamente el plano (es decir, cada punto en el plano pertenece al menos a una circunferencia de la familia), demuestre que existen dos circunferencias de la familia tales que la distancia entre sus centros es menor o igual a $R\sqrt3$ .

Sean $a > b > c > d$ enteros positivos y supongamos que \n\[ ac + bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c). \]\nDemostrar que $ab + cd$ no es primo.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC = 60^{\circ}$ . Sea $AP$ la bisectriz de $\angle BAC$ y sea $BQ$ la bisectriz de $\angle ABC$ , con $P$ en $BC$ y $Q$ en $AC$ . Si $AB + BP = AQ + QB$ , ¿cuáles son los ángulos del triángulo?

Sea $n$ un entero impar mayor que 1 y sean $c_1, c_2, \ldots, c_n$ enteros. Para cada permutación $a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ , definimos $S(a) = \sum_{i=1}^n c_i a_i$ . Demostrar que existen permutaciones $a \neq b$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ tales que $n!$ es un divisor de $S(a)-S(b)$ .