Determine todos los enteros compuestos $n>1$ que satisfacen la siguiente propiedad: si $d_1$ , $d_2$ , $\ldots$ , $d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ con $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n$ , entonces $d_i$ divide a $d_{i+1} + d_{i+2}$ para todo $1 \leq i \leq k - 2$ .

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $A_1,B_1,C_1$ puntos interiores de $ABC$ tales que $BA_1=A_1C$ , $CB_1=B_1A$ , $AC_1=C_1B$ , y $$\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ$$ Sea $BC_1$ y $CB_1$ que se encuentran en $A_2,$ sea $CA_1$ y $AC_1$ que se encuentran en $B_2,$ y sea $AB_1$ y $BA_1$ que se encuentran en $C_2.$ Demuestre que si el triángulo $A_1B_1C_1$ es escaleno, entonces las tres circunferencias circunscritas de los triángulos $AA_1A_2, BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan todas por dos puntos comunes. (Nota: un triángulo escaleno es uno donde no hay dos lados que tengan la misma longitud.)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno con ortocentro $H$ . Sea $\ell_a$ la línea que pasa por la reflexión de $B$ con respecto a $CH$ y la reflexión de $C$ con respecto a $BH$ . Las líneas $\ell_b$ y $\ell_c$ se definen de manera similar. Suponga que las líneas $\ell_a$ , $\ell_b$ , y $\ell_c$ determinan un triángulo $\mathcal T$ . Demuestre que el ortocentro de $\mathcal T$ , el circuncentro de $\mathcal T$ , y $H$ son colineales.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ . Un círculo $\Gamma$ es internamente tangente a $\omega$ en $A$ y también tangente a $BC$ en $D$ . Sean $AB$ y $AC$ que se intersecan con $\Gamma$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $M$ y $N$ puntos en la línea $BC$ tales que $B$ es el punto medio de $DM$ y $C$ es el punto medio de $DN$ . Las líneas $MP$ y $NQ$ se encuentran en $K$ e intersecan $\Gamma$ nuevamente en $I$ y $J$ respectivamente. El rayo $KA$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $IJK$ nuevamente en $X\neq K$ . Demuestre que $\angle BXP = \angle CXQ$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ y circuncentro $O$ . Los puntos $D\neq B$ y $E\neq C$ se encuentran en $\omega$ tales que $BD\perp AC$ y $CE\perp AB$ . Sea $CO$ que se encuentra con $AB$ en $X$ , y $BO$ que se encuentra con $AC$ en $Y$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BXD$ y $CYE$ tienen una intersección que se encuentra en la línea $AO$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ . Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Sea $S$ el punto medio del arco $CB$ de $\Omega$ que contiene a $A$ . La perpendicular desde $A$ a $BC$ se encuentra con $BS$ en $D$ y se encuentra con $\Omega$ nuevamente en $E \neq A$ . La línea que pasa por $D$ paralela a $BC$ se encuentra con la línea $BE$ en $L$ . Denotemos la circunferencia circunscrita del triángulo $BDL$ por $\omega$ . Sea $\omega$ que se encuentra con $\Omega$ nuevamente en $P \neq B$ . Demuestre que la línea tangente a $\omega$ en $P$ se encuentra con la línea $BS$ en la bisectriz del ángulo interno de $\angle BAC$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $\angle BAD < \angle ADC$ . Sea $M$ el punto medio del arco $CD$ que no contiene a $A$ . Suponga que hay un punto $P$ dentro de $ABCD$ tal que $\angle ADB = \angle CPD$ y $\angle ADP = \angle PCB$ . Demuestre que las líneas $AD, PM$ , y $BC$ son concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo con $AC > BC,$ sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC,$ y sea $r$ su radio. El punto $P$ se elige en $\overline{AC}$ tal que $BC=CP,$ y el punto $S$ es el pie de la perpendicular desde $P$ hasta $\overline{AB}$ . El rayo $BP$ se encuentra con $\omega$ nuevamente en $D$ . El punto $Q$ se elige en la línea $SP$ tal que $PQ = r$ y $S,P,Q$ se encuentran en una línea en ese orden. Finalmente, sea $E$ un punto que satisface $\overline{AE} \perp \overline{CQ}$ y $\overline{BE} \perp \overline{DQ}$ . Demuestre que $E$ se encuentra en $\omega$ .

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $\angle ABC = \angle AED = 90^\circ$ . Suponga que el punto medio de $CD$ es el circuncentro del triángulo $ABE$ . Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ACD$ . Demuestre que la línea $AO$ pasa por el punto medio del segmento $BE$ .

El archipiélago de Imomi consta de $n\geq 2$ islas. Entre cada par de islas distintas hay una línea de ferry única que funciona en ambas direcciones, y cada línea de ferry es operada por una de las $k$ compañías. Se sabe que si alguna de las $k$ compañías cierra todas sus líneas de ferry, entonces se vuelve imposible para un viajero, sin importar dónde comience el viajero, visitar todas las islas exactamente una vez (en particular, no regresar a la isla donde comenzó el viajero). Determine el valor máximo posible de $k$ en términos de $n$ .