Sea $N$ un entero positivo, y considere una cuadrícula de $N \times N$. Un camino hacia la derecha y hacia abajo es una secuencia de celdas de la cuadrícula tal que cada celda está una celda a la derecha o una celda debajo de la celda anterior en la secuencia. Un camino hacia la derecha y hacia arriba es una secuencia de celdas de la cuadrícula tal que cada celda está una celda a la derecha o una celda arriba de la celda anterior en la secuencia. Demuestre que las celdas de la cuadrícula de $N \times N$ no se pueden particionar en menos de $N$ caminos hacia la derecha y hacia abajo o hacia la derecha y hacia arriba.

Elisa tiene $2023$ cofres del tesoro, todos los cuales están desbloqueados y vacíos al principio. Cada día, Elisa agrega una nueva gema a uno de los cofres desbloqueados de su elección, y luego, un hada actúa de acuerdo con las siguientes reglas: si hay más de un cofre desbloqueado, bloquea uno de ellos, o si solo hay un cofre desbloqueado, desbloquea todos los cofres. Dado que este proceso continúa para siempre, demuestre que existe una constante $C$ con la siguiente propiedad: Elisa puede asegurar que la diferencia entre el número de gemas en dos cofres cualesquiera nunca exceda $C$ , independientemente de cómo el hada elija los cofres para desbloquear.

Sea $n\geqslant 2$ un entero positivo. Paul tiene una tira rectangular de $1\times n^2$ que consta de $n^2$ cuadrados unitarios, donde el $i^{\text{th}}$ cuadrado está etiquetado con $i$ para todo $1\leqslant i\leqslant n^2$ . Él desea cortar la tira en varias piezas, donde cada pieza consta de una cantidad de cuadrados unitarios consecutivos, y luego trasladar (sin rotar ni voltear) las piezas para obtener un cuadrado de $n\times n$ que satisfaga la siguiente propiedad: si el cuadrado unitario en la $i^{\text{th}}$ fila y la $j^{\text{th}}$ columna está etiquetado con $a_{ij}$ , entonces $a_{ij}-(i+j-1)$ es divisible por $n$ . Determine el número más pequeño de piezas que Paul necesita hacer para lograr esto.

Sea $n$ un entero positivo. Un triángulo japonés consiste en $1 + 2 + \dots + n$ círculos dispuestos en forma de triángulo equilátero de tal manera que para cada $i = 1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ , la $i^{th}$ fila contiene exactamente $i$ círculos, exactamente uno de los cuales está coloreado de rojo. Un camino ninja en un triángulo japonés es una secuencia de $n$ círculos obtenida comenzando en la fila superior, luego pasando repetidamente de un círculo a uno de los dos círculos inmediatamente debajo de él y terminando en la fila inferior. Aquí hay un ejemplo de un triángulo japonés con $n = 6$ , junto con un camino ninja en ese triángulo que contiene dos círculos rojos.\n\nEn términos de $n$ , encuentre el mayor $k$ tal que en cada triángulo japonés hay un camino ninja que contiene al menos $k$ círculos rojos.

Determine la longitud máxima $L$ de una secuencia $a_1,\dots,a_L$ de enteros positivos que satisfacen ambas propiedades siguientes: cada término en la secuencia es menor o igual que $2^{2023}$ , y no existe una subsecuencia consecutiva $a_i,a_{i+1},\dots,a_j$ (donde $1\le i\le j\le L$ ) con una elección de signos $s_i,s_{i+1},\dots,s_j\in\{1,-1\}$ para la cual \[s_ia_i+s_{i+1}a_{i+1}+\dots+s_ja_j=0.\]

Sean $m$ y $n$ enteros positivos mayores que $1$ . En cada cuadrado unitario de una cuadrícula de $m\times n$ se encuentra una moneda con su lado de la cruz hacia arriba. Un movimiento consta de los siguientes pasos: seleccionar un cuadrado de $2\times 2$ en la cuadrícula; voltear las monedas en los cuadrados unitarios superior izquierdo e inferior derecho; voltear la moneda en el cuadrado unitario superior derecho o inferior izquierdo. Determine todos los pares $(m,n)$ para los cuales es posible que cada moneda muestre el lado de la cara hacia arriba después de un número finito de movimientos.

Sea $N$ un entero positivo. Demuestre que existen tres permutaciones $a_1,\dots,a_N$ , $b_1,\dots,b_N$ , y $c_1,\dots,c_N$ de $1,\dots,N$ tales que \[\left|\sqrt{a_k}+\sqrt{b_k}+\sqrt{c_k}-2\sqrt{N}\right|<2023\] para todo $k=1,2,\dots,N$ .

Para cada entero $k\geq 2$ , determine todas las secuencias infinitas de enteros positivos $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ para las cuales existe un polinomio $P$ de la forma \[ P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\dots + c_1 x+c_0, \] donde $c_0$ , $c_1$ , \dots, $c_{k-1}$ son enteros no negativos, tal que \[ P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k} \] para todo entero $n\geq 1$ .

Sean $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ enteros positivos tales que $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ es una permutación de $1,2,\dots,2023$ , y $|a_1-a_2|,|a_2-a_3|,\dots,|a_{2022}-a_{2023}|$ es una permutación de $1,2,\dots,2022$ . Demuestre que $\max(a_1,a_{2023})\ge 507$ .

Sea $\mathbb R_{>0}$ el conjunto de los números reales positivos. Determine todas las funciones $f \colon \mathbb R_{>0} \to \mathbb R_{>0}$ tales que \[x \left(f(x) + f(y)\right) \geqslant \left(f(f(x)) + y\right) f(y)\] para todo $x, y \in \mathbb R_{>0}$ .