La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. syk0526 202 publicaciones syk0526 #1 h 24 de mar. de 2013, 12:19 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Para un triángulo $ ABC $ , sean $ B_1 ,C_1 $ los excentros de $ B, C $ . La recta $ B_1 C_1 $ se corta con el circuncírculo del $ \triangle ABC $ en el punto $ D (\ne A) $ . $ E $ es el punto que satisface $ B_1 E \bot CA $ y $ C_1 E \bot AB $ . Sea $ w $ el circuncírculo del $ \triangle ADE $ . La tangente al círculo $ w $ en $ D $ corta a $ AE $ en $ F $ . $ G , H $ son los puntos en $ AE, w $ tales que $ DGH \bot AE $ . El circuncírculo del $ \triangle HGF $ corta a $ w $ en el punto $ I ( \ne H ) $ , y sea $ J $ el pie de la perpendicular desde $ D $ a $ AH $ . Demuestre que $ AI $ pasa por el punto medio de $ DJ $ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. José 1828 publicaciones José #1 h 29 de mayo de 2006, 11:17 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dos personas, $A$ y $B$, juegan al siguiente juego: $A$ comienza eligiendo un número entero positivo y luego, cada jugador en su turno, dice un número siguiendo la siguiente regla: Si el último número dicho fue impar, el jugador suma $7$ a este número; si el último número dicho fue par, el jugador lo divide por $2$. El ganador es el jugador que repite el primer número dicho. Encuentre todos los números que $A$ puede elegir para ganar. Justifique su respuesta. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 29 de octubre de 2025, 5:05 AM Y por Inicialmente, hay $2024$ bolas verdes y $1$ bola roja en una caja. Cada minuto, Kate elige una bola al azar de la caja. Si es verde, la pinta de azul y la devuelve a la caja. Si es azul, la pinta de verde y la devuelve a la caja. Finalmente, si es roja, entonces detiene el proceso. ¿Cuál es el número esperado de bolas verdes al final de su proceso? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Tintarn 9107 publicaciones Tintarn #1 h 22 de abr. de 2024, 1:11 p. m. • 3 Y Y por Siddharth03, kiyoras_2001, mxsail $1000$ niños, ninguno de la misma altura, están formados en una fila. Llamemos a un par de niños diferentes $(a,b)$ bueno si entre ellos no hay ningún niño cuya altura sea mayor que la altura de uno de los dos, pero menor que la altura del otro. ¿Cuál es el mayor número de pares buenos que se pueden formar? (Aquí, $(a,b)$ y $(b,a)$ se consideran el mismo par). Propuesto por I. Bogdanov Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ahiles 374 publicaciones Ahiles #1 h 25 de junio de 2008, 6:55 AM • 6 Y Y por ahmedosama, Vietjung, Adventure10, Mango247 y otros 2 usuarios Encuentre todos los números primos $ p,q,r$ , tales que $ \frac{p}{q}-\frac{4}{r+1}=1$ Z K Y

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con lados $AB, BC, CD$ y $DA$, tal que $AB > BC$. El cuadrilátero satisface las siguientes condiciones: $$\angle ABD = 60^{\circ}, \quad \angle CBD = 60^{\circ}, \quad \angle ACD = 30^{\circ}.$$ Demuestre que $\angle BAC = \angle DAC$.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bsf714 68 publicaciones bsf714 #1 h 5 de julio de 2022, 4:52 PM Y por Sea $ABCD$ un cuadrado y sea $M$ el punto medio de $BC$. Sean $X$ e $Y$ puntos en los segmentos $AB$ y $CD$, respectivamente. Demuestre que $\angle XMY = 90^\circ$ si y solo si $BX + CY = XY$. Nota: En la competencia, a los estudiantes solo se les pidió demostrar la dirección "solo si". Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por bsf714, 5 de julio de 2022, 4:53 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. tobiSALT 108 publicaciones tobiSALT #1 h 6 de junio de 2025, 10:24 a. m. • 1 Y Y por Rounak_iitr Decimos que un par de enteros positivos $(n, m)$ es un par minuan si satisface las siguientes dos condiciones: 1. El número de divisores positivos de $n$ es par. 2. Si $d_1, d_2, \dots, d_{2k}$ son todos los divisores positivos de $n$, ordenados de tal manera que $1 = d_1 < d_2 < \dots < d_{2k} = n$, entonces el conjunto de todos los divisores positivos de $m$ es precisamente $$ \{1, d_1 + d_2, d_3 + d_4, d_5 + d_6, \dots, d_{2k-1} + d_{2k}\} $$ Encuentre todos los pares minuan $(n, m)$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por tobiSALT, 6 de junio de 2025, 10:31 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Jutaro 388 publicaciones Jutaro #1 h 28 de oct. de 2020, 2:53 p. m. • 2 Y Y por mathematicsy, Rounak_iitr Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales no negativos. Sea $k$ un entero positivo y $x_1, x_2, \dots, x_k$ números reales positivos tales que $x_1x_2\cdots x_k=1$. Demuestre que $$P(x_1)+P(x_2)+\cdots+P(x_k)\geq kP(1).$$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. PieAreSquared 5 publicaciones PieAreSquared #1 h 9 de abril de 2022, 5:00 PM • 10 Y Y por pog, v4913, megarnie, Kobayashi, Bedwarspro, centslordm, ImSh95, mathmax12, think4l, Rounak_iitr Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$. Sean las bisectrices de los ángulos internos en $A$ y $B$ que se cortan en $X$, las bisectrices de los ángulos internos en $B$ y $C$ que se cortan en $Y$, las bisectrices de los ángulos internos en $C$ y $D$ que se cortan en $Z$, y las bisectrices de los ángulos internos en $D$ y $A$ que se cortan en $W$. Además, sean $AC$ y $BD$ que se cortan en $P$. Suponga que los puntos $X$, $Y$, $Z$, $W$, $O$ y $P$ son distintos. Demuestre que $O$, $X$, $Y$, $Z$, $W$ yacen sobre el mismo círculo si y solo si $P$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ yacen sobre el mismo círculo. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por v_Enhance, 4 de mayo de 2024, 12:28 PM Razón: falta una coma Z K Y