Sean $x_1,x_2,\dots,x_{2023}$ números reales positivos distintos dos a dos tales que \[a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\dots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots+\frac{1}{x_n}\right)}\] es un entero para todo $n=1,2,\dots,2023.$ Demuestre que $a_{2023} \geqslant 3034.$

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función tal que \[f(x+y)f(x-y)\geqslant f(x)^2-f(y)^2\] para todo $x,y\in\mathbb{R}$ . Asuma que la desigualdad es estricta para algunos $x_0,y_0\in\mathbb{R}$ . Demuestre que o bien $f(x)\geqslant 0$ para todo $x\in\mathbb{R}$ o $f(x)\leqslant 0$ para todo $x\in\mathbb{R}$ .

El profesor Oak está alimentando a sus $100$ Pokémon. Cada Pokémon tiene un tazón cuya capacidad es un número real positivo de kilogramos. Estas capacidades son conocidas por el profesor Oak. La capacidad total de todos los tazones es de $100$ kilogramos. El profesor Oak distribuye $100$ kilogramos de comida de tal manera que cada Pokémon recibe un número entero no negativo de kilogramos de comida (que puede ser mayor que la capacidad del tazón). El nivel de insatisfacción de un Pokémon que recibió $N$ kilogramos de comida y cuyo tazón tiene una capacidad de $C$ kilogramos es igual a $\lvert N-C\rvert$ . Encuentra el número real más pequeño $D$ tal que, independientemente de las capacidades de los tazones, el profesor Oak puede distribuir la comida de tal manera que la suma de los niveles de insatisfacción de todos los $100$ Pokémon sea como máximo $D$ .

Se da un paralelepípedo recto (es decir, un paralelepípedo uno de cuyos lados es perpendicular a una cara). Sus vértices tienen coordenadas enteras, y ningún otro punto con coordenadas enteras se encuentra en sus caras o lados. Demuestra que el volumen de este paralelepípedo es una suma de tres cuadrados perfectos.

Una secuencia de enteros $a_0,\ a_1,\dots a_n \dots $ se define por las siguientes reglas: $a_0=0,\ a_1=1,\ a_{n+1} > a_n$ para cada $n\in \mathbb{N}$ , y $a_{n+1}$ es el número mínimo tal que ningún trío de números entre $a_0,\ a_1,\dots a_{n+1}$ forma una progresión aritmética. Demuestra que $a_{2^n}=3^n$ para cada $n \in \mathbb{N}.$

¿Pueden las gráficas de un polinomio de grado 20 y la función $\displaystyle y={1\over x^{40}}$ tener exactamente 30 puntos de intersección?

En el triángulo $ABC$ tenemos $\angle ABC=100^\circ$ , $\angle ACB=65^\circ$ , $M\in AB$ , $N\in AC$ , y $\angle MCB=55^\circ$ , $\angle NBC=80^\circ$ . Encuentra $\angle NMC$ .

Demuestra la desigualdad\n$${x\over y^2-z}+{y\over z^2-x}+{z\over x^2-y} > 1,$$\ndonde $2 < x, y, z < 4.$

¿Cuál es el número máximo de elementos que se pueden seleccionar del conjunto $\{1, 2, 3, \dots, 100\}$ de modo que ninguna suma de tres números seleccionados sea igual a un número seleccionado?

Encuentra todos los polinomios $P(x)$ tales que\n$$P(x^3+1)=P(x^3)+P(x^2).$$