50 caballeros del Rey Arturo se sentaron en la Mesa Redonda. Un vaso de vino blanco o tinto estaba delante de cada uno de ellos. Se sabe que al menos un vaso de vino tinto y al menos un vaso de vino blanco estaban en la mesa. El rey aplaudió dos veces. Después del primer aplauso, cada caballero con un vaso de vino tinto frente a él tomó un vaso de su vecino de la izquierda. Después del segundo aplauso, cada caballero con un vaso de vino blanco (y posiblemente algo más) frente a él le dio este vaso al vecino de la izquierda de su vecino de la izquierda. Demuestra que algún caballero se quedó sin vino.

¿Existe un entero positivo divisible por el producto de sus dígitos tal que este producto sea mayor que $10^{2000}$ ?

Considere la siguiente transformación del plano cartesiano: elija un punto de la retícula y gire el plano $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de ese punto de la retícula. ¿Es posible, a través de una secuencia de tales transformaciones, llevar el triángulo con vértices $(0,0)$ , $(1,0)$ y $(0,1)$ al triángulo con vértices $(0,0)$ , $(1,0)$ y $(1,1)$ ?

En el cuadrado $ABCD$ (etiquetado en el sentido de las agujas del reloj), sea $P$ cualquier punto en $BC$ y construya el cuadrado $APRS$ (etiquetado en el sentido de las agujas del reloj). Demuestre que la línea $CR$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

Dentro de un cuadrado de $2\times 2$, se dibujan líneas paralelas a un lado del cuadrado (tanto horizontales como verticales) dividiendo así el cuadrado en rectángulos. Los rectángulos se colorean alternativamente de blanco y negro como un tablero de ajedrez. Demuestre que si el área total de los rectángulos blancos es igual al área total de los rectángulos negros, entonces se pueden recortar los rectángulos negros y volver a montarlos en un rectángulo de $1\times 2$.

Los números $1,2,\ldots,64$ están escritos en los cuadrados de un tablero de ajedrez de $8\times 8$, un número en cada cuadrado. Luego, se colocan baldosas de $2\times 2$ en el tablero de ajedrez (sin superponerse) de modo que cada baldosa cubra exactamente cuatro cuadrados cuyos números sumen menos de $100$. Encuentre, con prueba, el número máximo de baldosas que se pueden colocar en el tablero de ajedrez, y dé un ejemplo de una distribución de los números $1,2,\ldots,64$ en los cuadrados del tablero de ajedrez que admita este número máximo de baldosas.

Llame a un entero positivo 'descendente' si, leyendo de izquierda a derecha, cada uno de sus dígitos (que no sea el de más a la izquierda) es menor o igual que el dígito anterior. Por ejemplo, $4221$ y $751$ son descendentes mientras que $476$ y $455$ no lo son. Determine si existe un entero positivo $n$ para el cual $16^n$ es descendente.

Se da un conjunto finito de círculos unitarios en un plano tal que el área de su unión $U$ es $S$ . Demuestra que existe un subconjunto de círculos mutuamente disjuntos tal que el área de su unión es mayor que $\frac{2S}{9}.$

Se dan varios planetas esféricos iguales en el espacio exterior. En la superficie de cada planeta hay un conjunto de puntos que es invisible desde cualquiera de los planetas restantes. Demuestra que la suma de las áreas de todos estos conjuntos es igual al área de la superficie de un planeta.

Tres círculos de radio igual tienen un punto común $O$ y se encuentran dentro de un triángulo dado. Cada círculo toca un par de lados del triángulo. Demuestra que el incentro y el circuncentro del triángulo son colineales con el punto $O$.