Olimpiada IMO 1981 Problema 16
Una secuencia de números reales $u_1, u_2, u_3, \dots$ está determinada por $u_1$ y la siguiente relación de recurrencia para $n \geq 1$ :\n\[4u_{n+1} = \sqrt[3]{ 64u_n + 15.}\]\nDescribe, con prueba, el comportamiento de $u_n$ cuando $n \to \infty.$
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Olimpiada IMO 1981 Problema 15
Considera un punto variable $P$ dentro de un triángulo dado $ABC$. Sean $D$, $E$, $F$ los pies de las perpendiculares desde el punto $P$ a las líneas $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Encuentra todos los puntos $P$ que minimizan la suma\n\[ {BC\over PD}+{CA\over PE}+{AB\over PF}. \]
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1981 Problema 14
Demostrar que un pentágono convexo (un polígono de cinco lados) $ABCDE$ con lados iguales y para el cual los ángulos interiores satisfacen la condición $\angle A \geq \angle B \geq \angle C \geq \angle D \geq \angle E$ es un pentágono regular.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1981 Problema 13
Sea $P$ un polinomio de grado $n$ que satisface \[P(k) = \binom{n+1}{k}^{-1} \qquad \text{ para } k = 0, 1, . . ., n.\] Determinar $P(n + 1).$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1981 Problema 12
Determinar el valor máximo de $m^2+n^2$, donde $m$ y $n$ son enteros en el rango $1,2,\ldots,1981$ que satisfacen $(n^2-mn-m^2)^2=1$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1981 Problema 11
En una semicircunferencia de radio unitario se dan cuatro cuerdas consecutivas $AB, BC, CD, DE$ con longitudes $a, b, c, d$, respectivamente. Demostrar que \[a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + abc + bcd < 4.\]
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1981 Problema 10
Determinar el número natural más pequeño $n$ que tiene la siguiente propiedad: Para cada entero $p, p \geq n$, es posible subdividir (particionar) un cuadrado dado en $p$ cuadrados (no necesariamente iguales).
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Olimpiada IMO - Lista Corta 1981 Problema 9
Una sucesión $(a_n)$ se define mediante la recursión \[a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{1 + 4a_n +\sqrt{1+ 24a_n}}{16}.\] Encuentra una fórmula explícita para $a_n.$
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Olimpiada IMO - Lista Corta 1981 Problema 8
Toma $r$ tal que $1\le r\le n$, y considera todos los subconjuntos de $r$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$. Cada subconjunto tiene un elemento más pequeño. Sea $F(n,r)$ la media aritmética de estos elementos más pequeños. Demuestra que: \[ F(n,r)={n+1\over r+1}. \]
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Olimpiada IMO - Lista Corta 1981 Problema 7
La función $f(x,y)$ satisface: $f(0,y)=y+1, f(x+1,0) = f(x,1), f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$ para todos los enteros no negativos $x,y$. Encuentra $f(4,1981)$.
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