Sean $P(z)$ y $Q(z)$ polinomios de variable compleja, con grado no menor que $1$. Sean \[P_k = \{z \in \mathbb C | P(z) = k \}, Q_k = \{ z \in \mathbb C | Q(z) = k \}.\] Sea también $P_0 = Q_0$ y $P_1 = Q_1$. Demuestra que $P(z) \equiv Q(z).$

Un cubo se ensambla con $27$ cubos blancos. El cubo más grande se pinta de negro por fuera y se desensambla. Un ciego lo vuelve a ensamblar. ¿Cuál es la probabilidad de que el cubo ahora sea completamente negro por fuera? Da una aproximación del tamaño de tu respuesta.

Sea $\{fn\}$ la sucesión de Fibonacci $\{1, 1, 2, 3, 5, \dots.\}$.\n(a) Encuentra todos los pares $(a, b)$ de números reales tales que para cada $n$ , $af_n +bf_{n+1}$ es un miembro de la secuencia.\n(b) Encuentra todos los pares $(u, v)$ de números reales positivos tales que para cada $n$ , $uf_n^2 +vf_{n+1}^2$ es un miembro de la secuencia.

Encuentra el valor mínimo de \n$\max(a + b + c, b + c + d, c + d + e, d + e + f, e + f + g)$\nsujeto a las restricciones\n(i) $a, b, c, d, e, f, g \geq 0,$\n(ii ) $ a + b + c + d + e + f + g = 1.$

Una esfera $S$ es tangente a los bordes $AB,BC,CD,DA$ de un tetraedro $ABCD$ en los puntos $E,F,G,H$ respectivamente. Los puntos $E,F,G,H$ son los vértices de un cuadrado. Demuestre que si la esfera es tangente al borde $AC$, entonces también es tangente al borde $BD$.

a.) ¿Para qué $n>2$ existe un conjunto de $n$ enteros positivos consecutivos tales que el número más grande en el conjunto es un divisor del mínimo común múltiplo de los $n-1$ números restantes?\nb.) ¿Para qué $n>2$ existe exactamente un conjunto que tiene esta propiedad?

Llamamos a un entero positivo $\textit{cheesy}$ si podemos obtener el promedio de los dígitos en su representación decimal colocando un separador decimal después del dígito más a la izquierda. Demostrar que solo hay finitamente muchos números $\textit{cheesy}$.

Determinar todas las funciones $f : \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ tales que $f$ es creciente (no necesariamente estrictamente) y los números $f(n)+n+1$ y $f(f(n))-f(n)$ son ambos cuadrados perfectos para cada entero positivo $n$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AC = BD$ y los lados $AB$ y $CD$ no son paralelos. Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran, respectivamente, en los segmentos $BP$ y $AP$ tales que $PC=PE$ y $PD=PF$. Demostrar que la circunferencia circunscrita del triángulo determinado por las líneas $AB, CD, EF$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$.

Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ con $\angle CAB = 90$. Las medianas a través de $B$ y $C$ se encuentran con $\Omega$ nuevamente en $D$ y $E$, respectivamente. La tangente a $\Omega$ en $D$ interseca la línea $AC$ en $X$ y la tangente a $\Omega$ en $E$ interseca la línea $AB$ en $Y$. Demostrar que la línea $XY$ es tangente a $\Omega$.