Sea $n$ un entero positivo. Se nos da una tabla de $2n \times 2n$. Cada celda está coloreada con uno de los $2n^2$ colores de tal manera que cada color se usa exactamente dos veces. Jana se encuentra en una de las celdas. Hay una barra de chocolate ubicada en una de las otras celdas. Jana desea llegar a la celda con la barra de chocolate. En cada paso, solo puede moverse de una de las dos maneras siguientes. Ya sea que camine a una celda adyacente o se teletransporte a la otra celda con el mismo color que su celda actual. (Jana puede moverse a una celda adyacente del mismo color ya sea caminando o teletransportándose). Determine si Jana puede cumplir su deseo, independientemente de la configuración inicial, si tiene que alternar entre las dos formas de moverse y tiene que comenzar con una teletransportación.

Sea $n$ un entero positivo. Hay $n$ vacas púrpuras y $n$ vacas blancas haciendo cola en una línea en algún orden. Tim desea ordenar las vacas por color, de modo que todas las vacas púrpuras estén al frente de la línea. En cada paso, solo se le permite intercambiar dos grupos adyacentes de igual número de vacas consecutivas. ¿Cuál es el número mínimo de pasos que Tim necesita para poder cumplir su deseo, independientemente de la alineación inicial de las vacas?

Sea $k$ un entero positivo y $a_1, a_2,... , a_k$ sean números reales no negativos. Inicialmente, hay una secuencia de $n \geq k$ ceros escritos en una pizarra. En cada paso, Nicole elige $k$ números consecutivos escritos en la pizarra e incrementa el primer número por $a_1$, el segundo por $a_2$, y así sucesivamente, hasta que incrementa el $k$ - ésimo por $a_k$. Después de un número positivo de pasos, Nicole logró hacer que todos los números en la pizarra sean iguales. Demostrar que todos los números distintos de cero entre $a_1, a_2, . . . , a_k$ son iguales.

Dado un par $(a_0, b_0)$ de números reales, definimos dos secuencias $a_0, a_1, a_2,...$ y $b_0, b_1, b_2, ...$ de números reales por $a_{n+1}= a_n + b_n$ y $b_{n+1}=a_nb_n$ para todo $n = 0, 1, 2,...$. Encontrar todos los pares $(a_0, b_0)$ de números reales tales que $a_{2022}= a_0$ y $b_{2022}= b_0$.

Inicialmente, dos enteros positivos distintos $a$ y $b$ están escritos en una pizarra. En cada paso, Andrea elige dos números distintos $x$ e $y$ en la pizarra y escribe el número $gcd(x, y) + lcm(x, y)$ en la pizarra también. Sea $n$ un entero positivo. Demostrar que, independientemente de los valores de $a$ y $b$, Andrea puede realizar un número finito de pasos tal que un múltiplo de $n$ aparece en la pizarra.

Sea $ABCD$ un paralelogramo con $\angle DAB < 90$. Sea $E$ el punto en la línea $BC$ tal que $AE = AB$ y sea $F$ el punto en la línea $CD$ tal que $AF = AD$. La circunferencia circunscrita del triángulo $CEF$ interseca la línea $AE$ nuevamente en $P$ y la línea $AF$ nuevamente en $Q$. Sea $X$ la reflexión de $P$ sobre la línea $DE$ e $Y$ la reflexión de $Q$ sobre la línea $BF$. Demostrar que $A, X, Y$ yacen en la misma línea.

Sea $n$ un entero positivo. Anna y Beatrice juegan un juego con una baraja de $n$ cartas etiquetadas con los números $1, 2,...,n$. Inicialmente, la baraja está mezclada. Los jugadores se turnan, comenzando con Anna. En cada turno, si $k$ denota el número escrito en la carta superior, entonces el jugador primero mira todas las cartas y luego reorganiza las $k$ cartas superiores. Si, después de reorganizar, la carta superior muestra el número $k$ nuevamente, entonces el jugador ha perdido y el juego termina. Determinar, dependiendo de la mezcla inicial, si alguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora, y si es así, quién la tiene.

Encontrar todas las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que $$f(x+f(x+y))=x+f(f(x)+y)$$ se cumple para todos los números reales $x$ e $y$.

Una secuencia $a_1, a_2,\dots, a_n$ de enteros positivos es alagoana, si para cada entero positivo $n$, se tienen estas dos condiciones I- $a_{n!} = a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_n$ II- El número $a_n$ es la $n$ - ésima potencia de un entero positivo. Encuentre todas las secuencias alagoanas.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle BAC = 60^{\circ}$ y con incentro $I$ y circuncentro $O$. Sea $H$ el punto diametralmente opuesto (antípoda) a $O$ en la circunferencia circunscrita de $\triangle BOC$. Demuestre que $IH=BI+IC$.