Para cada entero $n\geq 4$, consideramos los $m$ subconjuntos $A_1, A_2,\dots, A_m$ de $\{1, 2, 3,\dots, n\}$, tales que $A_1$ tiene exactamente un elemento, $A_2$ tiene exactamente dos elementos,...., $A_m$ tiene exactamente $m$ elementos y ninguno de estos subconjuntos está contenido en ningún otro conjunto. Encuentre el valor máximo de $m$.

Defina el producto $P_n=1! \cdot 2!\cdot 3!\cdots (n-1)!\cdot n!$ a) Encuentre todos los enteros positivos $m$, tales que $\frac {P_{2020}}{m!}$ es un cuadrado perfecto. b) Demuestre que existen infinitos valores de $n$, tales que $\frac {P_{n}}{m!}$ es un cuadrado perfecto, para al menos dos enteros positivos $m$.

Demuestre que todo entero positivo puede formarse mediante la suma de potencias de 3, 4 y 7, donde no aparecen dos potencias del mismo número y con el mismo exponente. Ejemplo: $2= 7^0 + 7^0$ y $22=3^2 + 3^2+4^1$ no son representaciones válidas, pero $2=3^0+7^0$ y $22=3^2+3^0+4^1+4^0+7^1$ son representaciones válidas.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, donde $R$ y $S$ son puntos en $DC$ y $AB$, respectivamente, tales que $AD=RC$ y $BC=SA$. Sean $P$, $Q$ y $M$ los puntos medios de $RD$, $BS$ y $CA$, respectivamente. Si $\angle MPC + \angle MQA = 90$, demuestre que $ABCD$ es cíclico.

Daniel elige un entero positivo $n$ y se lo dice a Ana. Con esta información, Ana elige un entero positivo $k$ y se lo dice a Daniel. Daniel dibuja $n$ circunferencias en un trozo de papel y elige $k$ puntos diferentes con la condición de que cada uno de ellos pertenece a una de las circunferencias que dibujó. Luego elimina las circunferencias, y sólo los $k$ puntos marcados son visibles. A partir de estos puntos, Ana debe reconstruir al menos una de las circunferencias que Daniel dibujó. Determinar cuál es el valor más bajo de $k$ que permite a Ana lograr su objetivo independientemente de cómo Daniel eligió las $n$ circunferencias y los $k$ puntos.

$ABC$ es un triángulo cualquiera. La tangente en $C$ a la circunferencia circunscrita ( $O$ ) de $ABC$ se encuentra con $AB$ en $M$. La línea perpendicular a $OM$ en $M$ intersecta a $BC$ en $P$ y a $AC$ en $Q$. Demostrar que $MP=MQ$.

Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos. Demostrar que $\frac{a+b}{c^2}+ \frac{c+a}{b^2}+ \frac{b+c}{a^2}\ge \frac{9}{a+b+c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C=60^o$. El punto $P$ es el simétrico de $A$ con respecto al punto de tangencia de la circunferencia inscrita con el lado $BC$. Demostrar que si la mediatriz del segmento $CP$ intersecta a la recta que contiene a la bisectriz del $\angle B$ en el punto $Q$, entonces el triángulo $CPQ$ es equilátero.

Sea $\lambda$ un número real tal que la desigualdad $0 <\sqrt {2002} - \frac {a} {b} <\frac {\lambda} {ab}$ se cumple para un número infinito de pares $ (a, b)$ de enteros positivos. Demostrar que $\lambda \geq 5$.

Determinar todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos para los cuales $\frac{a^2b+b}{ab^2+9}$ es un número entero.