Para un entero positivo $n$ , sea $S_n$ el conjunto de funciones biyectivas de $\{1,2,\dots ,n\}$ a sí mismo. Para un par de enteros positivos $(a,b)$ tal que $1 \leq a <b \leq n$ , y para una permutación $\sigma \in S_n$ , decimos que el par $(a,b)$ se expande para $\sigma$ si $|\sigma (a)- \sigma(b)| \geq |a-b|$ (a) ¿Es cierto que para todos los enteros $n > 1$ , existe $\sigma \in S_n$ de modo que el número de pares $(a,b)$ que se expanden para la permutación $\sigma$ es menor que $1000n\sqrt n$ ? (b) ¿Existe un entero positivo $n>1$ y una permutación $\sigma \in S_n$ de modo que el número de pares $(a,b)$ que se expanden para la permutación $\sigma$ es menor que $\frac{n\sqrt n}{1000}$ ?

Sea $A_1C_2B_1B_2C_1A_2$ un hexágono convexo cíclico inscrito en el círculo $\Omega$ , centrado en $O$ . Sea $\{ P \} = A_2B_2 \cap A_1B_1$ y $\{ Q \} = A_2C_2 \cap A_1C_1$ . Sea $\Gamma_1$ un círculo tangente a $OB_1$ y $OC_1$ en $B_1,C_1$ respectivamente. Similarmente, defina $\Gamma_2$ como el círculo tangente a $OB_2,OC_2$ en $B_2, C_2$ respectivamente. Demuestre que existe una homotecia que envía $\Gamma_1$ a $\Gamma_2$ , cuyo centro está en $PQ$

Vaysha tiene un tablero con $999$ números consecutivos escritos y $999$ etiquetas de la forma 'Este número no es divisible por $i$ ' , para $i \in \{ 2,3, \dots ,1000 \} $ . Ella coloca cada etiqueta al lado de un número en el tablero, de modo que cada número tenga exactamente una etiqueta. Por cada afirmación verdadera en las etiquetas, Vaysha obtiene un caramelo. ¿Cuántos caramelos puede garantizar Vaysha que ganará, independientemente de los números escritos en el tablero, si juega de forma óptima?

Un par de enteros positivos $(x, y)$ es bueno si satisfacen $\text{rad}(x) = \text{rad}(y)$ y no se dividen entre sí. Dados enteros positivos coprimos $a$ y $b$ , demuestre que existen infinitos $n$ para los cuales existe un entero positivo $m$ tal que $(a^n + bm, b^n + am)$ es bueno . (Aquí, $\text{rad}(x)$ denota el producto de los divisores primos de $x$ , como es habitual.)

Rose y Brunno juegan un juego en un tablero con la forma de un 1001-gono regular. Inicialmente, todos los vértices del tablero son blancos, y hay una ficha en uno de ellos. En cada turno, Rose elige un entero positivo arbitrario \( k \) , entonces Brunno elige una dirección: en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj, y mueve la ficha en la dirección elegida \( k \) vértices. Si al final del turno la ficha está en un vértice blanco, este vértice se pinta de rojo. Encuentra el mayor número de vértices que Rose puede hacer rojos independientemente de las acciones de Brunno, si el número de turnos no está limitado.

Sean $a, b$ reales positivos tales que $a^3 + b^3 = ab + 1$ . Demuestra que \[(a-b)^2 + a + b \geq 2\]

Considera cinco puntos $ A$ , $ B$ , $ C$ , $ D$ y $ E$ tales que $ ABCD$ es un paralelogramo y $ BCED$ es un cuadrilátero cíclico. Sea $ \ell$ una línea que pasa por $ A$ . Supón que $ \ell$ interseca el interior del segmento $ DC$ en $ F$ e interseca la línea $ BC$ en $ G$ . Supón también que $ EF = EG = EC$ . Demuestra que $ \ell$ es la bisectriz del ángulo $ DAB$ .

Se dan números reales $ a_{1}$ , $ a_{2}$ , $ \ldots$ , $ a_{n}$ . Para cada $ i$ , $ (1 \leq i \leq n )$ , define \[ d_{i} = \max \{ a_{j}\mid 1 \leq j \leq i \} - \min \{ a_{j}\mid i \leq j \leq n \} \]\ny sea $ d = \max \{d_{i}\mid 1 \leq i \leq n \}$ . (a) Demuestra que, para cualquier número real $ x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n}$ , \[ \max \{ |x_{i} - a_{i}| \mid 1 \leq i \leq n \}\geq \frac {d}{2}. \quad \quad (*) \]\n(b) Demuestra que existen números reales $ x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n}$ tales que la igualdad se cumple en (*).

Los vértices $D,E,F$ de un triángulo equilátero se encuentran en los lados $BC,CA,AB$ respectivamente de un triángulo $ABC$. Si $a,b,c$ son las longitudes respectivas de estos lados, y $S$ el área de $ABC$, demuestre que\n\[ DE \geq \frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot S}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 4 \cdot \sqrt{3} \cdot S}}. \]

Sean $A$, $B$, $C$, $D$ cuatro puntos en el plano, con $C$ y $D$ en el mismo lado de la línea $AB$, tales que $AC \cdot BD = AD \cdot BC$ y $\angle ADB = 90^{\circ}+\angle ACB$. Encuentre la razón \n\[\frac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD}, \]\ny demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ son ortogonales. (Se dice que las circunferencias que se intersectan son ortogonales si en cualquier punto común sus tangentes son perpendiculares. Por lo tanto, demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ son ortogonales es equivalente a demostrar que las tangentes a las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ en el punto $C$ son perpendiculares.)