La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. DylanN 212 publicaciones DylanN #1 h 26 de junio de 2022, 6:44 a. m. Y por Sea $r$ un entero positivo. Encuentre el entero positivo $m$ más pequeño que satisface la condición: Para todos los conjuntos $A_1, A_2, \dots, A_r$ con $A_i \cap A_j = \emptyset$ , para todo $i \neq j$ , y $\bigcup_{k = 1}^{r} A_k = \{ 1, 2, \dots, m \}$ , existen $a, b \in A_k$ para algún $k$ tal que $1 \leq \frac{b}{a} \leq 1 + \frac{1}{2022}$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. kraDracsO 10 publicaciones kraDracsO #1 h 26 de julio de 2023, 1:41 PM Y por En un estanque hay $n \geq 3$ piedras dispuestas en círculo. Una princesa desea etiquetar las piedras con los números $1, 2, \dots, n$ en algún orden y luego colocar algunos sapos sobre las piedras. Una vez que todos los sapos están ubicados, comienzan a saltar en sentido horario, de acuerdo con la siguiente regla: cuando un sapo llega a la piedra etiquetada con el número $k$, espera $k$ minutos y luego salta a la piedra adyacente. ¿Cuál es el mayor número de sapos para el cual la princesa puede etiquetar las piedras y colocar los sapos de tal manera que en ningún momento dos sapos ocupen una piedra al mismo tiempo? Nota: Se considera que una piedra está ocupada por dos sapos al mismo tiempo solo si hay dos sapos que están en la piedra durante al menos un minuto. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Amir Hossein, 27 de julio de 2023, 10:29 AM Razón: Formateado en LaTeX Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. MathsLion 113 publicaciones MathsLion #1 h 20 de dic. de 2020, 10:12 a. m. • 2 Y Y por buratinogigle, Inconsistente En el pentágono convexo $ABCDE$, los puntos $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$ son las intersecciones de los pares de diagonales $(BD, CE)$, $(CE, DA)$, $(DA, EB)$, $(EB, AC)$ y $(AC, BD)$ respectivamente. Demuestre que si cuatro de los cuadriláteros $AB_{1}A_{1}B$, $BC_{1}B_{1}C$, $CD_{1}C_{1}D$, $DE_{1}D_{1}E$ y $EA_{1}E_{1}A$ son cíclicos, entonces el quinto también lo es. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por MathsLion, 20 de dic. de 2020, 10:12 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jbaca 225 publicaciones jbaca #1 h 26 de julio de 2023, 12:05 PM • 1 Y Y por Rounak_iitr Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ y $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $A,\ B$ y $C$. Sea $D$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$ y $\ell$ la tangente a $\Gamma$ que pasa por $D$. Sean $P, Q$ y $R$ los puntos de intersección de $B C$ con $\ell$, de $A P$ con $\Gamma$ tal que $Q \neq A$, y de $Q D$ con la altura desde $A$ del triángulo $ABC$, respectivamente. Defina $S$ como la intersección de $AB$ con $\ell$ y $T$ como la intersección de $A C$ con $\ell$. Demuestre que $S$ y $T$ yacen sobre la circunferencia que pasa por $A, Q$ y $R$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. RobRoobiks 361 publicaciones RobRoobiks #1 h 4 de junio de 2012, 1:19 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado el triángulo $ABC$ , $\angle B= 2 \angle C$ , y $\angle A>90^\circ$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . La perpendicular a $AC$ en $C$ corta a $AB$ en $D$ . Demuestre que $\angle AMB = \angle DMC$ Haga clic para revelar el texto oculto Si es posible, no utilice geometría proyectiva Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de sep. de 2018, 7:35 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, Rounak_iitr Sea $\triangle ABC$ un triángulo y sea $X$ un punto en el interior del triángulo. Los segundos puntos de intersección de las rectas $XA, XB$ y $XC$ con el circuncírculo del $\triangle ABC$ son $P, Q$ y $R$. Sea $U$ un punto en el rayo $XP$ (estos son los puntos en la recta $XP$ tales que $P$ y $U$ yacen en el mismo lado de $X$). La recta que pasa por $U$ paralela a $AB$ corta a $BQ$ en $V$. La recta que pasa por $U$ paralela a $AC$ corta a $CR$ en $W$. Demuestre que $Q, R, V$ y $W$ yacen sobre un círculo. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 19 de sep. de 2018, 7:38 a. m. Razón: problema no correcto Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 22 de sep. de 2021, 6:26 p. m. Y por Determine todos los enteros $m$, para los cuales es posible diseccionar el cuadrado $m\times m$ en cinco rectángulos, con longitudes de lado que sean los enteros $1, 2, … ,10$ en algún orden. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Abril 1270 publicaciones Abril #1 h 4 de noviembre de 2008, 2:37 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo cuyo circuncentro es $ O$ . Los tres diámetros del circuncírculo que pasan por $ A$ , $ B$ y $ C$ , se encuentran con los lados opuestos $ BC$ , $ CA$ y $ AB$ en los puntos $ A_1$ , $ B_1$ y $ C_1$ , respectivamente. El circunradio de $ ABC$ tiene una longitud de $ 2P$ , donde $ P$ es un número primo. Las longitudes de $ OA_1$ , $ OB_1$ , $ OC_1$ son números enteros. ¿Cuáles son las longitudes de los lados del triángulo? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de sep. de 2021, 8:25 p. m. Y por Se le da una matriz de $2 \times 2$ con un entero positivo en cada campo. Si sumamos el producto de los números en la primera columna, el producto de los números en la segunda columna, el producto de los números en la primera fila y el producto de los números en la segunda fila, obtenemos $2021$. a) Encuentre los posibles valores para la suma de los cuatro números en la tabla. b) Encuentre el número de matrices distintas que satisfacen las condiciones dadas que contienen cuatro números distintos entre sí en las matrices. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 11 de dic. de 2022, 10:38 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Agung 89 publicaciones Agung #1 h 1 de ago. de 2010, 11:21 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Determine el entero positivo $\ N $ más pequeño tal que existen 6 enteros distintos $\ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 > 0 $ que satisfacen: (i) $\ N = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 $ (ii) $\ N - a_i$ es un cuadrado perfecto para $\ i = 1,2,3,4,5,6 $ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Agung, 2 de ago. de 2010, 3:55 a. m. Z K Y