Para tres puntos $A,B,C$ en el plano, definimos $m(ABC)$ como la longitud más pequeña de las tres alturas del triángulo $ABC$, donde en el caso de que $A$, $B$, $C$ sean colineales, establecemos $m(ABC) = 0$. Sean $A$, $B$, $C$ puntos dados en el plano. Demuestre que para cualquier punto $X$ en el plano,\n\[ m(ABC) \leq m(ABX) + m(AXC) + m(XBC). \]

En un tablero de ajedrez infinito, se juega un juego de solitario de la siguiente manera: al principio, tenemos $n^2$ piezas que ocupan un cuadrado de lado $n$. El único movimiento permitido es saltar sobre un cuadrado ocupado a uno desocupado, y la pieza que ha sido saltada se elimina. ¿Para qué $n$ puede terminar el juego con solo una pieza restante en el tablero?

Dado un triángulo $ABC$, sean $D$ y $E$ puntos en el lado $BC$ tales que $\angle BAD = \angle CAE$. Si $M$ y $N$ son, respectivamente, los puntos de tangencia de las circunferencias inscritas de los triángulos $ABD$ y $ACE$ con la línea $BC$, entonces demuestre que \n\[\frac{1}{MB}+\frac{1}{MD}= \frac{1}{NC}+\frac{1}{NE}. \]

En un tablero de ajedrez infinito, se juega un juego de solitario de la siguiente manera: al principio, tenemos $n^2$ piezas que ocupan un cuadrado de lado $n.$ El único movimiento permitido es saltar sobre un cuadrado ocupado a uno desocupado, y la pieza sobre la que se ha saltado se elimina. ¿Para qué $n$ puede terminar el juego con solo una pieza restante en el tablero?

Sean $A$ , $B$ , $C$ , $D$ cuatro puntos en el plano, con $C$ y $D$ en el mismo lado de la recta $AB$ , tales que $AC \cdot BD = AD \cdot BC$ y $\angle ADB = 90^{\circ}+\angle ACB$ . Encuentra la razón \[\frac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD}, \] y demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ son ortogonales. (Se dice que las circunferencias que se intersecan son ortogonales si en cualquier punto común sus tangentes son perpendiculares. Por lo tanto, demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ son ortogonales es equivalente a demostrar que las tangentes a las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ en el punto $C$ son perpendiculares.)

Sea $n > 1$ un entero y sea $f(x) = x^n + 5 \cdot x^{n-1} + 3.$ Demuestra que no existen polinomios $g(x),h(x),$ cada uno con coeficientes enteros y grado al menos uno, tal que $f(x) = g(x) \cdot h(x).$

Sea $\mathbb{N} = \{1,2,3, \ldots\}$ . Determina si existe una función estrictamente creciente $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ con las siguientes propiedades: (i) $f(1) = 2$ ; (ii) $f(f(n)) = f(n) + n, (n \in \mathbb{N})$ .

Sea $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$ y $A_0 = (a_{01},a_{02}, \ldots, a_{0n})$ sea cualquier $n-$ tupla de números naturales, tal que $0 \leq a_{0i} \leq i-1,$ para $i = 1, \ldots, n.$ Las $n-$ tuplas $A_1= (a_{11},a_{12}, \ldots, a_{1n}), A_2 = (a_{21},a_{22}, \ldots, a_{2n}), \ldots$ se definen por:\n$a_{i+1,j} = Card \{a_{i,l}| 1 \leq l \leq j-1, a_{i,l} \geq a_{i,j}\},$ para $i \in \mathbb{N}$ y $j = 1, \ldots, n.$ Demostrar que existe $k \in \mathbb{N},$ tal que $A_{k+2} = A_{k}.$

Sea $n > 1$ un entero. En una disposición circular de $n$ lámparas $L_0, \ldots, L_{n-1},$ cada una de las cuales puede estar ENCENDIDA o APAGADA, comenzamos con la situación en la que todas las lámparas están ENCENDIDAS, y luego llevamos a cabo una secuencia de pasos, $Step_0, Step_1, \ldots .$ Si $L_{j-1}$ ( $j$ se toma mod $ n$ ) está ENCENDIDA, entonces $Step_j$ cambia el estado de $L_j$ (pasa de ENCENDIDA a APAGADA o de APAGADA a ENCENDIDA) pero no cambia el estado de ninguna de las otras lámparas. Si $L_{j-1}$ está APAGADA, entonces $Step_j$ no cambia nada en absoluto. Demostrar que:\n(i) Existe un entero positivo $M(n)$ tal que después de $M(n)$ pasos todas las lámparas están ENCENDIDAS de nuevo,\n(ii) Si $n$ tiene la forma $2^k$ entonces todas las lámparas están ENCENDIDAS después de $n^2-1$ pasos,\n(iii) Si $n$ tiene la forma $2^k + 1$ entonces todas las lámparas están ENCENDIDAS después de $n^2 - n + 1$ pasos.

Sean $n,k \in \mathbb{Z}^{+}$ con $k \leq n$ y sea $S$ un conjunto que contiene $n$ números reales distintos. Sea $T$ un conjunto de todos los números reales de la forma $x_1 + x_2 + \ldots + x_k$ donde $x_1, x_2, \ldots, x_k$ son elementos distintos de $S.$ Demostrar que $T$ contiene al menos $k(n-k)+1$ elementos distintos.