a) Demostrar que el conjunto $ \mathbb{Q}^{ + }$ de todos los racionales positivos se puede dividir en tres subconjuntos disjuntos $ A,B,C$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n$ BA = B; \& B^2 = C; \& BC = A;$\ndonde $ HK$ representa el conjunto $ \{hk: h \in H, k \in K\}$ para dos subconjuntos cualesquiera $ H, K$ de $ \mathbb{Q}^{ + }$ y $ H^2$ representa $ HH.$\nb) Demostrar que todos los cubos racionales positivos están en $ A$ para tal partición de $ \mathbb{Q}^{ + }.$\nc) Encontrar tal partición $ \mathbb{Q}^{ + } = A \cup B \cup C$ con la propiedad de que para ningún entero positivo $ n \leq 34,$ tanto $ n$ como $ n + 1$ están en $ A,$ es decir,\n$ \text{min} \{n \in \mathbb{N}: n \in A, n + 1 \in A \} > 34.$

Sean $a,b,c,d$ cuatro números no negativos que satisfacen \[ a+b+c+d=1. \] Demostrar la desigualdad \[ a \cdot b \cdot c + b \cdot c \cdot d + c \cdot d \cdot a + d \cdot a \cdot b \leq \frac{1}{27} + \frac{176}{27} \cdot a \cdot b \cdot c \cdot d. \]

Sean $c_1, \ldots, c_n \in \mathbb{R}$ con $n \geq 2$ tales que \[ 0 \leq \sum^n_{i=1} c_i \leq n. \] Demostrar que podemos encontrar enteros $k_1, \ldots, k_n$ tales que \[ \sum^n_{i=1} k_i = 0 \] y \[ 1-n \leq c_i + n \cdot k_i \leq n \] para cada $i = 1, \ldots, n.$ Otra formulación: Sean $x_1, \ldots, x_n,$ con $n \geq 2$ números reales tales que \[ |x_1 + \ldots + x_n| \leq n. \] Demostrar que existen enteros $k_1, \ldots, k_n$ tales que \[ |k_1 + \ldots + k_n| = 0. \] y \[ |x_i + 2 \cdot n \cdot k_i| \leq 2 \cdot n -1 \] para cada $i = 1, \ldots, n.$

Sea $n > 1$ un entero y sea $f(x) = x^n + 5 \cdot x^{n-1} + 3.$ Demostrar que no existen polinomios $g(x),h(x),$ cada uno con coeficientes enteros y grado al menos uno, tales que $f(x) = g(x) \cdot h(x).$

Sea $\mathbb{N} = \{1,2,3, \ldots\}$. Determinar si existe una función estrictamente creciente $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ con las siguientes propiedades: (i) $f(1) = 2$ ; (ii) $f(f(n)) = f(n) + n, (n \in \mathbb{N})$ .

Sea $S$ el conjunto de todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos relativamente primos $m,n$ con $n$ par y $m < n.$ Para $s = (m,n) \in S$ escriba $n = 2^k \cdot n_o$ donde $k, n_0$ son enteros positivos con $n_0$ impar y defina \[ f(s) = (n_0, m + n - n_0). \] Demuestre que $f$ es una función de $S$ a $S$ y que para cada $s = (m,n) \in S,$ existe un entero positivo $t \leq \frac{m+n+1}{4}$ tal que \[ f^t(s) = s, \] donde \[ f^t(s) = \underbrace{ (f \circ f \circ \cdots \circ f) }_{t \text{ times}}(s). \] Si $m+n$ es un número primo que no divide $2^k - 1$ para $k = 1,2, \ldots, m+n-2,$ demuestre que el valor más pequeño $t$ que satisface las condiciones anteriores es $\left [\frac{m+n+1}{4} \right ]$ donde $\left[ x \right]$ denota el mayor entero $\leq x.$

Demuestre que para cualquier conjunto finito $S$ de enteros positivos distintos, podemos encontrar un conjunto $T \supseteq S$ tal que cada miembro de $T$ divide la suma de todos los miembros de $T$.

Sean $a,b,n$ enteros positivos, $b > 1$ y $b^n-1\mid a$. Demuestre que la representación del número $a$ en la base $b$ contiene al menos $n$ dígitos diferentes de cero.

Un número natural $n$ se dice que tiene la propiedad $P$, si, para todo $a, n^2$ divide a $a^n - 1$ siempre que $n$ divide a $a^n - 1$. a.) Demuestre que todo número primo $n$ tiene la propiedad $P$. b.) Demuestre que hay infinitos números compuestos $n$ que poseen la propiedad $P$.

Define una secuencia $\langle f(n)\rangle^{\infty}_{n=1}$ de enteros positivos por $f(1) = 1$ y\n\[f(n) = \n\begin{cases} f(n-1) - n & \text{ si } f(n-1) > n;\\ f(n-1) + n & \text{ si } f(n-1) \leq n,\n\end{cases}\n\]\npara $n \geq 2.$ Sea $S = \{n \in \mathbb{N} \;\mid\; f(n) = 1993\}.$ (i) Demuestra que $S$ es un conjunto infinito. (ii) Encuentra el entero positivo más pequeño en $S.$ (iii) Si todos los elementos de $S$ están escritos en orden ascendente como\n\[ n_1 < n_2 < n_3 < \ldots ,\n\]\nmuestra que\n\[ \lim_{i\rightarrow\infty} \frac{n_{i+1}}{n_i} = 3.\n\]