La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. N.T.TUAN 3595 publicaciones N.T.TUAN #1 h 10 de junio de 2007, 12:58 AM • 4 Y Y por Adventure10, Mango247 y otros 2 usuarios. El triángulo $\Delta GRB$ está diseccionado en $25$ triángulos pequeños como se muestra. Todos los vértices de estos triángulos están pintados de tres colores de modo que se satisfacen las siguientes condiciones: El vértice $G$ está pintado de verde, el vértice $R$ de rojo y $B$ de azul; cada vértice en el lado $GR$ es verde o rojo, cada vértice en $RB$ es rojo o azul, y cada vértice en $GB$ es verde o azul. Los vértices dentro del triángulo grande están coloreados arbitrariamente. Demuestre que, independientemente de la forma de colorear, al menos uno de los $25$ triángulos pequeños tiene vértices de tres colores diferentes. Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por N.T.TUAN, 10 de junio de 2007, 5:15 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Bugi 1857 publicaciones Bugi #1 h 10 de nov. de 2008, 8:10 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que para todo número compuesto $ n>4$ , los números $ kn$ dividen a $ (n-1)!$ para todo entero $ k$ tal que $ 1\le k\le \lfloor \sqrt{n-1} \rfloor$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 24 de mar. de 2024, 5:19 a. m. • 1 Y Y por mxsail Matías tiene una hoja de papel rectangular $ABCD$ , con $AB<AD$ . Inicialmente, dobla la hoja a lo largo de una línea recta $AE$ , donde $E$ es un punto en el lado $DC$ , de modo que el vértice $D$ se ubique sobre el lado $BC$ , como se muestra en la figura. Luego, dobla la hoja nuevamente a lo largo de una línea recta $AF$ , donde $F$ es un punto en el lado $BC$ , de modo que el vértice $B$ quede sobre la línea $AE$ ; y finalmente dobla la hoja a lo largo de la línea $EF$ . Matías observó que los vértices $B$ y $C$ se ubicaron en el mismo punto del segmento $AE$ después de realizar los dobleces. Calcule la medida del ángulo $\angle DAE$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/0/9/b9ab717e1806c6503a9310ee923f20109da31a.png Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 24 de mar. de 2024, 5:20 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 20 de enero de 2026, 2:59 PM Y por Demuestre que las soluciones de la ecuación $$9kx^2(x - 1) + t(9x - 1) = 0$$ donde $k$ y $t$ son números reales, $k$ diferente de cero, no pueden ser todas positivas, reales y diferentes. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. DylanN 212 publicaciones DylanN #1 h 25 de junio de 2022, 2:46 PM • 2 Y Y por PRMOisTheHardestExam, China_BW Sea $n$ un entero positivo, y $a_1, a_2, \dots, a_{2n}$ una sucesión de números reales positivos cuyo producto es igual a $2$. Para $k = 1, 2, \dots, 2n$, establezca $a_{2n + k} = a_k$, y defina $$ A_k = \frac{1 + a_k + a_k a_{k + 1} + \dots + a_k a_{k + 1} \cdots a_{k + n - 2}}{1 + a_k + a_k a_{k + 1} + \dots + a_k a_{k + 1} \cdots a_{k + 2n - 2}}. $$ Suponga que $A_1, A_2, \dots, A_{2n}$ son distintos dos a dos; demuestre que exactamente la mitad de ellos son menores que $\sqrt{2} - 1$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 20 de enero de 2026, 2:57 PM Y por Demuestre que en cada triángulo par se cumple: (a) La media armónica de las dos alturas mayores es mayor o igual a la bisectriz más pequeña. (b) La bisectriz más grande es mayor o igual a la media armónica de las dos medianas más pequeñas. El signo de igualdad se cumple si y solo si el triángulo es equilátero. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Bugi 1857 publicaciones Bugi #1 h 10 de nov. de 2008, 8:21 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Los círculos $ \mathcal{C}_1$ y $ \mathcal{C}_2$ se cortan en $ A$ y $ B$ . Sea $ M\in AB$ . Una recta que pasa por $ M$ (distinta de $ AB$ ) corta a los círculos $ \mathcal{C}_1$ y $ \mathcal{C}_2$ en $ Z,D,E,C$ respectivamente, de tal manera que $ D,E\in ZC$ . Las perpendiculares en $ B$ a las rectas $ EB,ZB$ y $ AD$ respectivamente cortan al círculo $ \mathcal{C}_2$ en $ F,K$ y $ N$ . Demuestre que $ KF=NC$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Bugi 1857 publicaciones Bugi #1 h 10 de nov. de 2008, 8:25 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ A$ un subconjunto del conjunto $ \{1, 2,\ldots,2006\}$ , que consta de $ 1004$ elementos. Demuestre que existen $ 3$ números distintos $ a,b,c\in A$ tales que $ gcd(a,b)$ : a) divide a $ c$ b) no divide a $ c$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Jjesus 523 publicaciones Jjesus #1 h 27 de noviembre de 2020, 10:32 a. m. Y por Sea $ABC$ un triángulo rectángulo, recto en $B$, y sea $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $P$ el punto en la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ tal que $PM$ es perpendicular a $BC$ ($P$ está fuera del triángulo $ABC$). Determine el área del triángulo $ABC$ si $PM = 1$ y $MC = 5$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Jjesus, 27 de noviembre de 2020, 10:33 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Agung 89 publicaciones Agung #1 h 1 de agosto de 2010, 11:13 PM • 5 Y Y por mathematicsy, Adventure10, Mango247, Rounak_iitr, cubres Dos círculos son tangentes entre sí internamente en un punto $\ T $ . Sea la cuerda $\ AB $ del círculo mayor tangente al círculo menor en un punto $\ P $ . Demuestre que la recta $\ TP $ biseca al $\ \angle ATB $ . Z K Y