Sean $A_1$ y $B_1$ puntos internos que se encuentran en los lados $BC$ y $AC$ del triángulo $ABC$ respectivamente y los segmentos $AA_1$ y $BB_1$ se encuentran en $O$ . Las áreas de los triángulos $AOB_1,AOB$ y $BOA_1$ son números primos distintos y el área del cuadrilátero $A_1OB_1C$ es un entero. Encuentre el valor mínimo posible del área del triángulo $ABC$ , y argumente la existencia de tal triángulo.

Sea $ n\ge 5$ un entero positivo. Demuestre que el conjunto $ \{1,2,\ldots,n\}$ se puede dividir en dos subconjuntos no nulos $ S_n$ y $ P_n$ tales que la suma de los elementos en $ S_n$ es igual al producto de los elementos en $ P_n$ .

Sea $ A$ un subconjunto del conjunto $ \{1, 2,\ldots,2006\}$ , que consta de $ 1004$ elementos. Demuestre que existen $ 3$ números distintos $ a,b,c\in A$ tales que $ gcd(a,b)$ : a) divide a $ c$ b) no divide a $ c$

Sea $ ABC$ un triángulo equilátero de centro $ O$ , y $ M\in BC$ . Sean $ K,L$ las proyecciones de $ M$ sobre los lados $ AB$ y $ AC$ respectivamente. Demuestre que la línea $ OM$ pasa por el punto medio del segmento $ KL$ .

Los círculos $ \mathcal{C}_1$ y $ \mathcal{C}_2$ se intersecan en $ A$ y $ B$ . Sea $ M\in AB$ . Una línea que pasa por $ M$ (diferente de $ AB$ ) corta los círculos $ \mathcal{C}_1$ y $ \mathcal{C}_2$ en $ Z,D,E,C$ respectivamente de modo que $ D,E\in ZC$ . Las perpendiculares en $ B$ a las líneas $ EB,ZB$ y $ AD$ respectivamente cortan el círculo $ \mathcal{C}_2$ en $ F,K$ y $ N$ . Demuestre que $ KF=NC$ .

Sea $ ABCD$ un trapecio inscrito en un círculo $ \mathcal{C}$ con $ AB\parallel CD$ , $ AB=2CD$ . Sea $ \{Q\}=AD\cap BC$ y sea $ P$ la intersección de las tangentes a $ \mathcal{C}$ en $ B$ y $ D$ . Calcule el área del cuadrilátero $ ABPQ$ en términos del área del triángulo $ PDQ$ .

Sea $ ABCD$ un trapecio con $ AB\parallel CD,AB>CD$ y $ \angle{A} + \angle{B} = 90^\circ$ . Demuestre que la distancia entre los puntos medios de las bases es igual a la semidiferencia de las bases.

Demuestre que no existen números naturales $ n\ge 10$ que tengan todos los dígitos diferentes de cero, y tales que todos los números que se obtienen por permutaciones de sus dígitos son cuadrados perfectos.

Determine todos los números $ \overline{abcd}$ tales que $ \overline{abcd}=11(a+b+c+d)^2$ .

Demuestre que para todo número compuesto $ n>4$ , los números $ kn$ dividen a $ (n-1)!$ para todo entero $ k$ tal que $ 1\le k\le \lfloor \sqrt{n-1} \rfloor$ .