Determine todos los pares $ (m,n)$ de números naturales para los cuales $ m^2=nk+2$ donde $ k=\overline{n1}$ . EDIT. Se ha descubierto que la declaración correcta es con $ k=\overline{1n}$ .

Determine el mayor valor posible de $ m$ para el cual la ecuación $ 2005x + 2007y = m$ tiene una solución única en números naturales.

Sea $ n\ge 3$ un número natural. Un conjunto de números reales $ \{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ se llama sumable si $ \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}=1$ . Demuestre que para todo $ n\ge 3$ siempre existe un conjunto sumable que consta de $ n$ elementos tales que el elemento más grande es: a) mayor que $ 2^{2n-2}$ b) menor que $ n^2$

Sean $ x,y,z$ números reales positivos tales que $ x+2y+3z=\frac{11}{12}$ . Demuestre la desigualdad $ 6(3xy+4xz+2yz)+6x+3y+4z+72xyz\le \frac{107}{18}$ .

Para un triángulo acutángulo $ ABC$ , demuestre la desigualdad: $ \sum_{cyclic} \frac{m_a^2}{-a^2+b^2+c^2}\ge \frac{9}{4}$ donde $ m_a,m_b,m_c$ son las longitudes de las medianas correspondientes.

Considere un triángulo acutángulo $\triangle ABC$ ( $AC>AB$ ) con su ortocentro $H$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$ . Los puntos $M$ , $P$ son los puntos medios de $BC$ y $AH$ respectivamente. La línea $\overline{AM}$ se encuentra con $\Gamma$ nuevamente en $X$ y el punto $N$ se encuentra en la línea $\overline{BC}$ de modo que $\overline{NX}$ es tangente a $\Gamma$ . Los puntos $J$ y $K$ se encuentran en el círculo con diámetro $MP$ tal que $\angle AJP=\angle HNM$ ( $B$ y $J$ se encuentran en un mismo lado de $\overline{AH}$ ) y el círculo $\omega_1$ , que pasa por $K,H$ , y $J$ , y el círculo $\omega_2$ que pasa por $K,M$ , y $N$ , son externamente tangentes entre sí. Pruebe que las tangentes externas comunes de $\omega_1$ y $\omega_2$ se encuentran en la línea $\overline{NH}$ .

Se da el cuadrilátero circunscrito convexo $ABCD$ con su incentro $I$ tal que su incírculo es tangente a $\overline{AD},\overline{DC},\overline{CB},$ y $\overline{BA}$ en $K,L,M,$ y $N$ . Las líneas $\overline{AD}$ y $\overline{BC}$ se encuentran en $E$ y las líneas $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ se encuentran en $F$ . Sea $\overline{KM}$ interseca a $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ en $X,Y$ , respectivamente. Sea $\overline{LN}$ interseca a $\overline{AD}$ y $\overline{BC}$ en $Z,T$ , respectivamente. Pruebe que la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle XFY$ y el círculo con diámetro $EI$ son tangentes si y solo si la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle TEZ$ y el círculo con diámetro $FI$ son tangentes.

Suponga que tres círculos están mutuamente fuera uno del otro con la propiedad de que cada línea que separa dos de ellos tiene intersección con el interior del tercero. Pruebe que la suma de las distancias por pares entre sus centros es como máximo $2\sqrt{2}$ veces la suma de sus radios. (Una línea separa dos círculos, siempre que los círculos no tengan intersección con la línea y estén en diferentes lados de ella.) Nota. Los resultados más débiles con $2\sqrt{2}$ reemplazados por algún otro $c$ pueden recibir puntos dependiendo del valor de $c>2\sqrt{2}$

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con su incentro $I$ . Suponga que $N$ es el punto medio del arco $\overarc{BAC}$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ , y $P$ es un punto tal que $ABPC$ es un paralelogramo. Sea $Q$ la reflexión de $A$ sobre $N$ y $R$ la proyección de $A$ sobre $\overline{QI}$ . Demuestre que la línea $\overline{AI}$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle PQR$

Sean $M,N,P$ los puntos medios de $BC,AC$ y $AB$ del triángulo $\triangle ABC$ respectivamente. $E$ y $F$ son dos puntos en el segmento $\overline{BC}$ de modo que $\angle NEC = \frac{1}{2} \angle AMB$ y $\angle PFB = \frac{1}{2} \angle AMC$ . Pruebe que $AE=AF$ .