Encuentre todos los números $n \geq 4$ tales que exista un poliedro convexo con exactamente $n$ caras, cuyas caras son triángulos rectángulos. (Tenga en cuenta que el ángulo entre cualquier par de caras adyacentes en un poliedro convexo es menor que $180^\circ$ . )

Se da el triángulo $ABC$ . Un círculo arbitrario con centro $J$ , que pasa por $B$ y $C$ , interseca los lados $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$ , respectivamente. Sea $X$ un punto tal que el triángulo $FXB$ es similar al triángulo $EJC$ (con el mismo orden) y los puntos $X$ y $C$ se encuentran en el mismo lado de la línea $AB$ . Del mismo modo, sea $Y$ un punto tal que el triángulo $EYC$ es similar al triángulo $FJB$ (con el mismo orden) y los puntos $Y$ y $B$ se encuentran en el mismo lado de la línea $AC$ . Pruebe que la línea $XY$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$ .

En el triángulo acutángulo $ABC$ ( $AC > AB$ ) , el punto $H$ es el ortocentro y el punto $M$ es el punto medio del segmento $BC$ . La mediana $AM$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $X$ . La línea $CH$ interseca la bisectriz perpendicular de $BC$ en $E$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ nuevamente en $F$ . El punto $J$ se encuentra en el círculo $\omega$ , que pasa por $X, E,$ y $F$ , tal que $BCHJ$ es un trapecio ( $CB \parallel HJ$ ) . Pruebe que $JB$ y $EM$ se encuentran en $\omega$ .

Sea $ABC$ un triángulo isósceles ( $AB = AC$ ) con su circuncentro $O$ . El punto $N$ es el punto medio del segmento $BC$ y el punto $M$ es la reflexión del punto $N$ con respecto al lado $AC$ . Suponga que $T$ es un punto tal que $ANBT$ es un rectángulo. Pruebe que $\angle OMT = \frac{1}{2} \angle BAC$ .

Se da un trapecio $ABCD$ donde $AB$ y $CD$ son paralelos. Sea $M$ el punto medio del segmento $AB$ . El punto $N$ está ubicado en el segmento $CD$ tal que $\angle ADN = \frac{1}{2} \angle MNC$ y $\angle BCN = \frac{1}{2} \angle MND$ . Pruebe que $N$ es el punto medio del segmento $CD$ .

Decimos que dos vértices de un polígono simple son visibles entre sí si son adyacentes, o si el segmento que los une está completamente dentro del polígono (excepto dos puntos finales que se encuentran en el límite). Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que exista un polígono simple con $n$ vértices en el que cada vértice es visible desde exactamente $4$ otros vértices. (Un polígono simple es un polígono sin agujero que no se cruza a sí mismo.)

Sea $P$ un punto arbitrario en el interior del triángulo $\triangle ABC$ . Las líneas $\overline{BP}$ y $\overline{CP}$ intersecan $\overline{AC}$ y $\overline{AB}$ en $E$ y $F$ , respectivamente. Sean $K$ y $L$ los puntos medios de los segmentos $BF$ y $CE$ , respectivamente. Sean las líneas que pasan por $L$ y $K$ paralelas a $\overline{CF}$ y $\overline{BE}$ que intersecan $\overline{BC}$ en $S$ y $T$ , respectivamente; además, denote por $M$ y $N$ la reflexión de $S$ y $T$ sobre los puntos $L$ y $K$ , respectivamente. Pruebe que cuando $P$ se mueve en el interior del triángulo $\triangle ABC$ , la línea $\overline{MN}$ pasa por un punto fijo.

De acuerdo con la figura, tres triángulos equiláteros con longitudes de lado $a,b,c$ tienen un vértice común y no tienen ningún otro punto común. Las longitudes $x, y$ , y $z$ se definen como en la figura. Pruebe que $3(x+y+z)>2(a+b+c)$ .

Se da un paralelogramo $ABCD$ ( $AB \neq BC$ ) . Los puntos $E$ y $G$ se eligen en la línea $\overline{CD}$ de tal manera que $\overline{AC}$ es la bisectriz de los ángulos $\angle EAD$ y $\angle BAG$ . La línea $\overline{BC}$ interseca a $\overline{AE}$ y $\overline{AG}$ en $F$ y $H$ , respectivamente. Pruebe que la línea $\overline{FG}$ pasa por el punto medio de $HE$ .

Por un pliegue de un papel con forma de polígono, nos referimos a dibujar un segmento en el papel y doblar el papel a lo largo de ese segmento. Suponga que se da un papel con la siguiente figura. Cortamos el papel a lo largo del borde de la región sombreada para obtener un papel con forma de polígono. Comience con este polígono sombreado y haga un papel con forma de rectángulo a partir de él con como máximo 5 número de pliegues. Describa su solución introduciendo las líneas de plegado y dibujando la forma después de cada pliegue en su hoja de solución. (Tenga en cuenta que las líneas de plegado no tienen que coincidir con las líneas de la cuadrícula de la forma).