Suponga que $x_0, x_1, \ldots , x_n$ son enteros y $x_0 > x_1 > \cdots > x_n.$ Demuestre que al menos uno de los números $|F(x_0)|, |F(x_1)|, |F(x_2)|, \ldots, |F(x_n)|,$ donde $F(x) = x^n + a_1x^{n-1} + \cdots+ a_n, \quad a_i \in \mathbb R, \quad i = 1, \ldots , n,$ es mayor que $\frac{n!}{2^n}.$

Sea $E$ un conjunto de $n$ puntos en el plano $(n \geq 3)$ cuyas coordenadas son enteros tales que tres puntos cualesquiera de $E$ son vértices de un triángulo no degenerado cuyo centroide no tiene ambas coordenadas enteras. Determina el $n$ máximo.

Demuestra que para todo triángulo se cumple la siguiente desigualdad: \[\frac{ab+bc+ca}{4S} \geq \cot \frac{\pi}{6}.\] donde $a, b, c$ son las longitudes de los lados y $S$ es el área del triángulo.

En una secuencia finita de números reales, la suma de siete términos sucesivos cualesquiera es negativa y la suma de once términos sucesivos cualesquiera es positiva. Determina el número máximo de términos en la secuencia.

Los cuatro circuncírculos de las cuatro caras de un tetraedro tienen radios iguales. Demuestra que las cuatro caras del tetraedro son triángulos congruentes.

A través de un punto $O$ en la diagonal $BD$ de un paralelogramo $ABCD$ , se dibujan segmentos $MN$ paralelos a $AB$ , y $PQ$ paralelos a $AD$ , con $M$ en $AD$ , y $Q$ en $AB$ . Demuestra que las diagonales $AO,BP,DN$ (extendidas si es necesario) serán concurrentes.

Si $0 \leq a \leq b \leq c \leq d,$ demuestra que \[a^bb^cc^dd^a \geq b^ac^bd^ca^d.\]

Encuentra todos los pares de enteros $a$ y $b$ para los cuales \[7a+14b=5a^2+5ab+5b^2\]

Se trazan dos cuerdas perpendiculares que pasan por un punto interior dado $P$ de un círculo de radio $R$. Determine, con prueba, el máximo y el mínimo de la suma de las longitudes de estas dos cuerdas si la distancia de $P$ al centro del círculo es $kR$.

Se dan varios segmentos, que llamaremos blancos, y la suma de sus longitudes es $1$. Se dan varios otros segmentos, que llamaremos negros, y la suma de sus longitudes es $1$. Demuestra que cada sistema de segmentos puede ser distribuido en el segmento de longitud $1.51$ de la siguiente manera: Los segmentos del mismo color son disjuntos, y los segmentos de diferentes colores son o bien disjuntos o uno está dentro del otro. Demuestra que existe un sistema que no puede ser distribuido de esa manera en el segmento de longitud $1.49$.