Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un polinomio $P_n(x)$ de grado $n$ con coeficientes enteros que es igual a $n$ en $n$ puntos enteros diferentes y que es igual a cero en cero.

Encuentre todos los pares de enteros $(p,q)$ para los cuales todas las raíces de los trinomios $x^2+px+q$ y $x^2+qx+p$ son enteros.

La intersección de un plano con un tetraedro regular de lado $a$ es un cuadrilátero con perímetro $P$. Pruebe que $2a \leq P \leq 3a$.

Se da un cuadrado $ABCD$. Una línea que pasa por $A$ intersecta $CD$ en $Q$. Trace una línea paralela a $AQ$ que intersecta la frontera del cuadrado en los puntos $M$ y $N$ tal que el área del cuadrilátero $AMNQ$ sea máxima.

Sea $f$ una función estrictamente creciente definida en el conjunto de los números reales. Para $x$ real y $t$ positivo, sea \[g(x,t)=\frac{f(x+t)-f(x)}{f(x) - f(x - t)}.\] Asuma que las desigualdades \[2^{-1} < g(x, t) < 2\] se cumplen para todo $t$ positivo si $x = 0$, y para todo $t \leq |x|$ en caso contrario. Demuestre que \[ 14^{-1} < g(x, t) < 14\] para todo $x$ real y $t$ positivo.

Sea $E$ un conjunto finito de puntos tal que $E$ no está contenido en un plano y no hay tres puntos de $E$ que sean colineales. Demuestra que al menos una de las siguientes alternativas se cumple: (i) $E$ contiene cinco puntos que son vértices de una pirámide convexa que no tiene otros puntos en común con $E;$ (ii) algún plano contiene exactamente tres puntos de $E.$

Sea $E$ un conjunto finito de puntos en el espacio tal que $E$ no está contenido en un plano y no hay tres puntos de $E$ que sean colineales. Demuestra que $E$ contiene los vértices de un tetraedro $T = ABCD$ tal que $T \cap E = \{A,B,C,D\}$ (incluyendo los puntos interiores de $T$) y tal que la proyección de $A$ sobre el plano $BCD$ está dentro de un triángulo que es similar al triángulo $BCD$ y cuyos lados tienen puntos medios $B,C,D.$

Evalúa \[S=\sum_{k=1}^n k(k+1)\ldots (k+p), \] donde $n$ y $p$ son enteros positivos.

La sucesión $a_{n,k} \ , k = 1, 2, 3,\ldots, 2^n \ , n = 0, 1, 2,\ldots,$ está definida por la siguiente fórmula de recurrencia: \[a_1 = 2,\qquad a_{n,k} = 2a_{n-1,k}^3, \qquad , a_{n,k+2^{n-1}} =\frac 12 a_{n-1,k}^3\] \[\text{para} \quad k = 1, 2, 3,\ldots, 2^{n-1} \ , n = 0, 1, 2,\ldots\] Demuestra que los números $a_{n,k}$ son todos diferentes.

Una rueda consiste en un disco circular fijo y un anillo circular móvil. En el disco están marcados los números $1, 2, 3, \ldots ,N$, y en el anillo están marcados $N$ enteros $a_1,a_2,\ldots ,a_N$ cuya suma es $1$. El anillo se puede girar en $N$ posiciones diferentes en las que los números del disco y del anillo coinciden. Multiplica cada número del anillo por el número correspondiente del disco y forma la suma de $N$ productos. De esta manera se obtiene una suma para cada posición del anillo. Demuestra que las $N$ sumas son diferentes.