Los números $1, 2, 3,\ldots , 64$ se colocan en un tablero de ajedrez, un número en cada casilla. Considere todos los cuadrados en el tablero de ajedrez de tamaño $2 \times 2.$ Demuestre que hay al menos tres de estos cuadrados para los cuales la suma de los $4$ números contenidos excede $100.$

Considere $37$ puntos distintos en el espacio, todos con coordenadas enteras. Demuestre que podemos encontrar entre ellos tres puntos distintos tales que su baricentro tenga coordenadas enteras.

Sean $m_j > 0$ para $j = 1, 2,\ldots, n$ y $a_1 \leq \cdots \leq a_n < b_1 \leq \cdots \leq b_n < c_1 \leq \cdots \leq c_n$ números reales. Demuestre que \[\Biggl( \sum_{j=1}^{n} m_j(a_j+b_j+c_j) \Biggr)^2 > 3 \Biggl( \sum_{j=1}^{n} m_j \Biggr) \Biggl( \sum_{j=1}^{n} m_j(a_jb_j+b_jc_j+c_ja_j) \Biggr).\]

Sean $A_1,A_2,\ldots ,A_{n+1}$ enteros positivos tales que $(A_i,A_{n+1})=1$ para cada $i=1,2,\ldots ,n$ . Demuestre que la ecuación \[x_1^{A_1}+x_2^{A_2}+\ldots + x_n^{A_n}=x_{n+1}^{A_{n+1} }\] tiene un conjunto infinito de soluciones $(x_1,x_2,\ldots , x_{n+1})$ en enteros positivos.

Considere una secuencia de números $(a_1, a_2, \ldots , a_{2^n}).$ Defina la operación \[S\biggl((a_1, a_2, \ldots , a_{2^n})\biggr) = (a_1a_2, a_2a_3, \ldots , a_{2^{n-1}a_{2^n}, a_{2^n}a_1).}\] Demuestre que cualquiera que sea la secuencia $(a_1, a_2, \ldots , a_{2^n})$, con $a_i \in \{-1, 1\}$ para $i = 1, 2, \ldots , 2^n,$ después de un número finito de aplicaciones de la operación obtenemos la secuencia $(1, 1, \ldots, 1).$

Encuentre todos los números $N=\overline{a_1a_2\ldots a_n}$ para los cuales $9\times \overline{a_1a_2\ldots a_n}=\overline{a_n\ldots a_2a_1}$ tal que a lo sumo uno de los dígitos $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ es cero.

Sea $B$ un conjunto de $k$ secuencias, cada una con $n$ términos iguales a $1$ o $-1$. El producto de dos de tales secuencias $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ y $(b_1, b_2, \ldots , b_n)$ se define como $(a_1b_1, a_2b_2, \ldots , a_nb_n)$. Demuestre que existe una secuencia $(c_1, c_2, \ldots , c_n)$ tal que la intersección de $B$ y el conjunto que contiene todas las secuencias de $B$ multiplicadas por $(c_1, c_2, \ldots , c_n)$ contiene a lo sumo $\frac{k^2}{2^n}$ secuencias.

Se da un círculo $K$ centrado en $(0,0)$. Demuestre que para cada vector $(a_1,a_2)$ existe un entero positivo $n$ tal que el círculo $K$ trasladado por el vector $n(a_1,a_2)$ contiene un punto reticular (es decir, un punto cuyas coordenadas son enteras).

En una habitación hay nueve hombres. Entre cada tres de ellos, hay dos que se conocen mutuamente. Demuestre que algunos cuatro de ellos se conocen mutuamente.

Sea $f$ una función definida en el conjunto de pares de números racionales no nulos cuyos valores son números reales positivos. Suponga que $f$ satisface las siguientes condiciones: (1) $f(ab,c)=f(a,c)f(b,c), f(c,ab)=f(c,a)f(c,b);$ (2) $f(a,1-a)=1$. Demuestre que $f(a,a)=f(a,-a)=1, f(a,b)f(b,a)=1$.