Se da un triángulo $ABC$ con $\angle A = 30^\circ$ y $\angle C = 54^\circ$. En $BC$ se elige un punto $D$ tal que $ \angle CAD = 12^\circ.$ En $AB$ se elige un punto $E$ tal que $\angle ACE = 6^\circ.$ Sea $S$ el punto de intersección de $AD$ y $CE.$ Demuestre que $BS = BC.$

En el interior de un cuadrado $ABCD$ construimos los triángulos equiláteros $ABK, BCL, CDM, DAN.$ Demuestre que los puntos medios de los cuatro segmentos $KL, LM, MN, NK$ y los puntos medios de los ocho segmentos $AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN$ son los 12 vértices de un dodecágono regular.

Sea $n$ un entero mayor que $1$ . Definimos \[x_1 = n, y_1 = 1, x_{i+1} =\left[ \frac{x_i+y_i}{2}\right] , y_{i+1} = \left[ \frac{n}{x_{i+1}}\right], \qquad \text{para }i = 1, 2, \ldots\ ,] donde $[z]$ denota el mayor entero menor o igual a $z$ . Demuestre que \[ \min \{x_1, x_2, \ldots, x_n \} =[ \sqrt n ]\]

Sea $n$ un número dado mayor que 2. Consideramos el conjunto $V_n$ de todos los enteros de la forma $1 + kn$ con $k = 1, 2, \ldots$ Un número $m$ de $V_n$ se llama indescomponible en $V_n$ si no hay dos números $p$ y $q$ de $V_n$ de modo que $m = pq$. Demuestre que existe un número $r \in V_n$ que puede expresarse como el producto de elementos indescomponibles en $V_n$ de más de una manera. (Las expresiones que difieren sólo en el orden de los elementos de $V_n$ se considerarán iguales.)

Sea $p$ un número primo mayor que $5$. Sea $V$ la colección de todos los enteros positivos $n$ que pueden escribirse en la forma $n = kp + 1$ o $n = kp - 1 \ (k = 1, 2, \ldots)$. Un número $n \in V$ se llama indescomponible en $V$ si es imposible encontrar $k, l \in V$ tales que $n = kl$. Demuestre que existe un número $N \in V$ que puede ser factorizado en factores indescomponibles en $V$ de más de una manera.

Prueba la identidad \[ (z+a)^n=z^n+a\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}(a-kb)^{k-1}(z+kb)^{n-k}\]

Determine todas las funciones reales $f(x)$ que están definidas y son continuas en el intervalo $(-1, 1)$ y que satisfacen la ecuación funcional \[f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x) f(y)} \qquad (x, y, x + y \in (-1, 1)).\]

¿Para qué enteros positivos $n$ existen dos polinomios $f$ y $g$ con coeficientes enteros de $n$ variables $x_1, x_2, \ldots , x_n$ tales que se satisface la siguiente igualdad: \[\sum_{i=1}^n x_i f(x_1, x_2, \ldots , x_n) = g(x_1^2, x_2^2, \ldots , x_n^2) \ ?\]

Sea $S$ un cuadrilátero convexo $ABCD$ y $O$ un punto dentro de él. Los pies de las perpendiculares desde $O$ a $AB, BC, CD, DA$ son $A_1, B_1, C_1, D_1$ respectivamente. Los pies de las perpendiculares desde $O$ a los lados de $S_i$ , el cuadrilátero $A_iB_iC_iD_i$ , son $A_{i+1}B_{i+1}C_{i+1}D_{i+1}$ , donde $i = 1, 2, 3.$ Pruebe que $S_4$ es similar a S.

Dado que $x_1+x_2+x_3=y_1+y_2+y_3=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=0,$ pruebe que: \[ \frac{x_1^2}{x_1^2+x_2^2+x_3^2}+\frac{y_1^2}{y_1^2+y_2^2+y_3^2}=\frac{2}{3}\]