Se da un triángulo acutángulo $ABC$. Denotemos por $D$ y $E$ las proyecciones ortogonales de los puntos $B$ y $C$, respectivamente, sobre la bisectriz del ángulo externo $BAC$. Sea $F$ el punto de intersección de las rectas $BE$ y $CD$. Demuestre que las rectas $AF$ y $DE$ son perpendiculares.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. MathsLion 113 publicaciones MathsLion #1 h 20 de dic. de 2020, 10:12 a. m. • 2 Y Y por buratinogigle, Inconsistente En el pentágono convexo $ABCDE$, los puntos $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$ son las intersecciones de los pares de diagonales $(BD, CE)$, $(CE, DA)$, $(DA, EB)$, $(EB, AC)$ y $(AC, BD)$ respectivamente. Demuestre que si cuatro de los cuadriláteros $AB_{1}A_{1}B$, $BC_{1}B_{1}C$, $CD_{1}C_{1}D$, $DE_{1}D_{1}E$ y $EA_{1}E_{1}A$ son cíclicos, entonces el quinto también lo es. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por MathsLion, 20 de dic. de 2020, 10:12 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. square_root_of_3 78 publicaciones square_root_of_3 #1 h 22 de dic. de 2021, 12:10 p. m. Y por Sea $\ell$ un entero positivo. Decimos que un entero positivo $k$ es agradable si $k!+\ell$ es el cuadrado de un entero. Demuestre que para todo entero positivo $n \geqslant \ell$, el conjunto $\{1, 2, \ldots,n^2\}$ contiene a lo sumo $n^2-n +\ell$ enteros agradables. (Théo Lenoir) Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Valentin Vornicu 7301 publicaciones Valentin Vornicu #1 h 29 de oct. de 2005, 6:49 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, mathematicsy, Mango247 El triángulo $ABC$ tiene $CA = CB$. $P$ es un punto en el circuncírculo entre $A$ y $B$ (y en el lado opuesto de la recta $AB$ respecto a $C$). $D$ es el pie de la perpendicular desde $C$ a $PB$. Demuestre que $PA + PB = 2 \cdot PD$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Djile 24 publicaciones Djile #1 h 8 de abr. de 2013, 10:23 a. m. • 2 Y Y por Adventure10 y otro usuario Determine todos los números naturales $n$ para los cuales existe una partición de $\{1,2,...,3n\}$ en $n$ subconjuntos disjuntos dos a dos de la forma $\{a,b,c\}$, tales que los números $b-a$ y $c-b$ son números diferentes del conjunto $\{n-1, n, n+1\}$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 925 publicaciones mathisreal #1 h 2 de octubre de 2017, 5:46 PM • 1 Y Y por Adventure10 Sea $ABCD$ un cuadrilátero tal que $\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ$ y $\angle BCD > 90^\circ$. Sea $P$ un punto en el interior de $ABCD$ tal que $BCDP$ es un paralelogramo. La recta $AP$ corta a $BC$ en $M$. Si $BM = 2$, $MC = 5$ y $CD = 3$, encuentre la longitud de $AM$. Esta publicación ha sido editada 4 veces. Última edición por mathisreal, 17 de enero de 2026, 12:21 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Abril 1270 publicaciones Abril #1 h 4 de noviembre de 2008, 2:20 AM • 3 Y Y por Hedy, Adventure10, Mango247 ¿Existe un entero $ N$ tal que $ \left(\sqrt{1997}-\sqrt{1996}\right)^{1998}=\sqrt{N}-\sqrt{N-1}$ ? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 18 de dic. de 2020, 7:23 p. m. • 3 Y Y por Mango247, Mango247, Mango247 Sea $n>1$ un entero dado. La casa de moneda emite monedas de $n$ valores diferentes $a_1, a_2, ..., a_n$, donde cada $a_i$ es un entero positivo (el número de monedas de cada valor es ilimitado). Un conjunto de valores $\{a_1, a_2,..., a_n\}$ se denomina afortunado si la suma $a_1+ a_2+...+ a_n$ puede obtenerse de una manera única (es decir, tomando una moneda de cada valor). (a) Demuestre que existe un conjunto afortunado de valores $\{a_1, a_2, ..., a_n\}$ tal que $$a_1+ a_2+...+ a_n < n \cdot 2^n.$$ (b) Demuestre que todo conjunto afortunado de valores $\{a_1, a_2,..., a_n\}$ satisface $$a_1+ a_2+...+ a_n >n \cdot 2^{n-1}.$$ Propuesto por Ilya Bogdanov Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por parmenides51, 20 de dic. de 2020, 11:11 a. m. Z K Y

Dada una sucesión $(a_1, a_2,... )$ con $a_1 = A$ , $a_2 = B$ , $a_n =\frac{a^2_{n-1}}{a_{n-2}}$ para todo número natural mayor que $2$. Demuestre que si $A, B$ y $\frac{A^2+B^2+C}{AB}$ son enteros, entonces todos los miembros de la sucesión son enteros.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Bugi 1857 publicaciones Bugi #1 h 10 de nov. de 2008, 8:06 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Determine el mayor valor posible de $ m$ para el cual la ecuación $ 2005x + 2007y = m$ tiene una solución única en números naturales. Z K Y