Sean $a,b,A,B$ números reales dados. Consideramos la función definida por\n\[ f(x) = 1 - a \cdot \cos(x) - b \cdot \sin(x) - A \cdot \cos(2x) - B \cdot \sin(2x). \]\nPruebe que si para cualquier número real $x$ tenemos $f(x) \geq 0$ entonces $a^2 + b^2 \leq 2$ y $A^2 + B^2 \leq 1.$

Dado cualquier entero $m>1$, demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que los últimos $m$ dígitos de $5^n$ son una secuencia $a_m,a_{m-1},\ldots ,a_1=5\ (0\le a_j<10)$ en la que cada dígito, excepto el último, es de paridad opuesta a su sucesor (es decir, si $a_i$ es par, entonces $a_{i-1}$ es impar, y si $a_i$ es impar, entonces $a_{i-1}$ es par).

Dado un triángulo isósceles $ABC$ con un ángulo recto en $C$, construya el centro $M$ y el radio $r$ de un círculo que corta en los segmentos $AB, BC, CA$ los segmentos $DE, FG$ y $HK$, respectivamente, tales que $\angle DME + \angle FMG + \angle HMK = 180^\circ$ y $DE : FG : HK = AB : BC : CA.$

Una bola $K$ de radio $r$ es tocada desde el exterior por bolas mutuamente iguales de radio $R$. Dos de estas bolas son tangentes entre sí. Además, para dos bolas $K_1$ y $K_2$ tangentes a $K$ y tangentes entre sí, existen otras dos bolas tangentes a $K_1, K_2$ y también a $K$. ¿Cuántas bolas son tangentes a $K$? Para un $r$ dado, determine $R$.

Sea $n$ un entero positivo. ¿Cuántas soluciones enteras $(i, j, k, l), \ 1 \leq i, j, k, l \leq n$, tiene el siguiente sistema de desigualdades:\n\[1 \leq -j + k + l \leq n\]\n\[1 \leq i - k + l \leq n\]\n\[1 \leq i - j + l \leq n\]\n\[1 \leq i + j - k \leq n \ ?\]

Sea $n$ un entero mayor que $1$. En el sistema de coordenadas cartesianas consideramos todos los cuadrados con vértices enteros $(x,y)$ tales que $1\le x,y\le n$. Denotemos por $p_k\ (k=0,1,2,\ldots )$ el número de pares de puntos que son vértices de exactamente $k$ tales cuadrados. Demuestre que $\sum_k(k-1)p_k=0$.

Hay $2^n$ palabras de longitud $n$ sobre el alfabeto $\{0, 1\}$. Demuestre que el siguiente algoritmo genera la secuencia $w_0, w_1, \ldots, w_{2^n-1}$ de todas estas palabras de tal manera que dos palabras consecutivas cualesquiera difieren en exactamente un dígito.\n(1) $w_0 = 00 \ldots 0$ ( $n$ ceros).\n(2) Suponga que $w_{m-1} = a_1a_2 \ldots a_n,\quad a_i \in \{0, 1\}$. Sea $e(m)$ el exponente de $2$ en la representación de $n$ como producto de primos, y sea $j = 1 + e(m)$. Reemplace el dígito $a_j$ en la palabra $w_{m-1}$ por $1 - a_j$. La palabra obtenida es $w_m$.

Describa todas las figuras cerradas acotadas $\Phi$ en el plano, dos puntos cualesquiera de las cuales se pueden conectar mediante un semicírculo que se encuentra en $\Phi$.

Sea $z$ un entero $> 1$ y sea $M$ el conjunto de todos los números de la forma $z_k = 1+z + \cdots+ z^k, \ k = 0, 1,\ldots$. Determine el conjunto $T$ de divisores de al menos uno de los números $z_k$ de $M$.

Sean $n$ y $z$ enteros mayores que $1$ y $(n,z)=1$. Demuestre:\n(a) Al menos uno de los números $z_i=1+z+z^2+\cdots +z^i, i=0,1,\ldots ,n-1,$ es divisible por $n$.\n(b) Si $(z-1,n)=1$, entonces al menos uno de los números $z_i$ es divisible por $n$.