Sean $a,b$ dos números naturales. Cuando dividimos $a^2+b^2$ por $a+b$ , obtenemos el residuo $r$ y el cociente $q.$ Determina todos los pares $(a, b)$ para los cuales $q^2 + r = 1977.$

Sea $ABCD$ un tetraedro regular y $\mathbf{Z}$ una isometría que mapea $A,B,C,D$ en $B,C,D,A$ , respectivamente. Encuentra el conjunto $M$ de todos los puntos $X$ de la cara $ABC$ cuya distancia desde $\mathbf{Z}(X)$ es igual a un número dado $t$ . Encuentra las condiciones necesarias y suficientes para que el conjunto $M$ no esté vacío.

Un hexaedro $ABCDE$ está hecho de dos tetraedros regulares congruentes $ABCD$ y $ABCE.$ Demuestra que existe sólo una isometría $\mathbf Z$ que mapea los puntos $A, B, C, D, E$ en $B, C, A, E, D,$ respectivamente. Encuentra todos los puntos $X$ en la superficie del hexaedro cuya distancia desde $\mathbf Z(X)$ es mínima.

Demuestra la siguiente afirmación: Si $c_1,c_2,\ldots ,c_n\ (n\ge 2)$ son números reales tales que \[ (n-1)(c_1^2+c_2^2+\cdots +c_n^2)=(c_1+c_2+\cdots + c_n)^2,\] entonces o todos estos números son no negativos o todos estos números son no positivos.

Sean $x_1, x_2, \ldots , x_n \ (n \geq 1)$ números reales tales que $0 \leq x_j \leq \pi, \ j = 1, 2,\ldots, n.$ Demuestra que si $\sum_{j=1}^n (\cos x_j +1) $ es un entero impar, entonces $\sum_{j=1}^n \sin x_j \geq 1.$

Un punto reticular en el plano es un punto cuyas coordenadas son enteras. Cada punto reticular tiene cuatro puntos vecinos: superior, inferior, izquierdo y derecho. Sea $k$ un círculo con radio $r \geq 2$, que no pasa por ningún punto reticular. Un punto de frontera interior es un punto reticular que se encuentra dentro del círculo $k$ que tiene un punto vecino que se encuentra fuera de $k$. Del mismo modo, un punto de frontera exterior es un punto reticular que se encuentra fuera del círculo $k$ que tiene un punto vecino que se encuentra dentro de $k$. Demuestre que hay cuatro puntos de frontera exteriores más que puntos de frontera interiores.

Se nos dan $n$ puntos en el espacio. Algunos pares de estos puntos están conectados por segmentos de línea de manera que el número de segmentos es igual a $[n^2/4]$, y existe un triángulo conectado. Demuestre que cualquier punto desde el cual comienza el número máximo de segmentos es un vértice de un triángulo conectado.

En una compañía de $n$ personas, cada persona no tiene más de $d$ conocidos, y en esa compañía existe un grupo de $k$ personas, $k\ge d$, que no se conocen entre sí. Demuestre que el número de pares de conocidos no es mayor que $\left[ \frac{n^2}{4}\right]$.

Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ que satisfacen la siguiente condición: \[f(n+1)>f(f(n)), \quad \forall n \in \mathbb{N}.\]

Un pentágono $ABCDE$ inscrito en un círculo para el cual $BC<CD$ y $AB<DE$ es la base de una pirámide con vértice $S$. Si $AS$ es la arista más larga que comienza desde $S$, demuestre que $BS>CS$.