La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shobber 3498 publicaciones shobber #1 h 17 de mar. de 2006, 6:42 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Adventure10, Mango247 Dado: \[ S = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1} {6}} + \cdots + \frac{1}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1} {1993006}} \] donde los denominadores contienen sumas parciales de la sucesión de recíprocos de números triangulares (es decir, $k=\frac{n(n+1)}{2}$ para $n = 1$ , $2$ , $\ldots$ , $1996$ ). Demuestre que $S>1001$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. augustin_p 170 publicaciones augustin_p #1 h 4 de feb. de 2023, 10:42 a. m. Y por Encuentre todas las ternas de números primos $(m, n, p)$ que satisfacen el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} 2m-n+13p=2072,\\3m+11n+13p=2961.\end{matrix}\right.$$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 11 de nov. de 2005, 3:06 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que la recta $CD$ es tangente al círculo con diámetro $AB$. Demuestre que la recta $AB$ es tangente al círculo con diámetro $CD$ si y solo si las rectas $BC$ y $AD$ son paralelas. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. AlanLG 241 publicaciones AlanLG #1 h 1 de dic. de 2022, 12:01 a. m. Y Ana, Beto, Carlos, Diana, Elena y Fabian están en un círculo, ubicados en ese orden. Ana, Beto, Carlos, Diana, Elena y Fabian tienen cada uno un trozo de papel, donde están escritos los números reales $a,b,c,d,e,f$ respectivamente. Al final de cada minuto, todas las personas reemplazan simultáneamente el número en su papel por la suma de tres números; el número que estaba al principio del minuto en su papel y en los papeles de sus dos vecinos. Al final del minuto $2022$, se han realizado $2022$ reemplazos y cada persona tiene en su papel su número inicial. Encuentre todos los valores posibles de $abc+def$. $\textbf{Nota:}$ Si al principio del minuto $N$ Ana, Beto y Carlos tienen los números $x,y,z$, respectivamente, entonces al final del minuto $N$, Beto tendrá el número $x+y+z$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 12 de oct. de 2010, 1:12 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $n > 1$ y $x_i \in \mathbb{R}$ para $i = 1,\cdots, n$. Defina \[S_k = x_1^k+ x^k_2+\cdots+ x^k_n\] para $k \ge 1$. Si $S_1 = S_2 =\cdots= S_{n+1}$, demuestre que $x_i \in \{0, 1\}$ para todo $i = 1, 2,\cdots, n.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 12 de oct. de 2010, 4:30 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario más. Sea $ABC$ un triángulo con bisectrices interiores $AA_1, BB_1, CC_1$ e incentro $I$. Si $\sigma[IA_1B] + \sigma[IB_1C] + \sigma[IC_1A] = \frac{1}{2}\sigma[ABC]$, donde $\sigma[ABC]$ denota el área de $ABC$, demuestre que $ABC$ es isósceles. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Goutham, 12 de oct. de 2010, 4:32 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ComplexPhi 455 publicaciones ComplexPhi #1 h 4 de feb. de 2015, 8:23 a. m. • 4 Y Y por tove.lo, HWenslawski, Adventure10, Mango247 Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=a^2+b^2+c^2$ . Demuestre que: \[\frac{a^2}{a^2+ab}+\frac{b^2}{b^2+bc}+\frac{c^2}{c^2+ca} \geq \frac{a+b+c}{2}\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. egxa 219 publicaciones egxa #1 h 27 de abril de 2025, 7:57 a. m. • 3 Y Y por Miquel-point, PikaPika999, Mysteriouxxx Hay $n$ ciudades en un país, donde $n \geq 100$ es un entero. Algunos pares de ciudades están conectados por vuelos directos (de doble sentido). Para dos ciudades $A$ y $B$ definimos: $(i)$ Un $\emph{camino}$ entre $A$ y $B$ como una sucesión de ciudades distintas $A = C_0, C_1, \dots, C_k, C_{k+1} = B$, $k \geq 0$, tal que existen vuelos directos entre $C_i$ y $C_{i+1}$ para todo $0 \leq i \leq k$; $(ii)$ Un $\emph{camino largo}$ entre $A$ y $B$ como un camino entre $A$ y $B$ tal que ningún otro camino entre $A$ y $B$ tiene más ciudades; $(iii)$ Un $\emph{camino corto}$ entre $A$ y $B$ como un camino entre $A$ y $B$ tal que ningún otro camino entre $A$ y $B$ tiene menos ciudades. Suponga que para cualquier par de ciudades $A$ y $B$ en el país, existen un camino largo y un camino corto entre ellas que no tienen ciudades en común (excepto $A$ y $B$). Sea $F$ el número total de pares de ciudades en el país que están conectados por vuelos directos. En términos de $n$, encuentre todos los valores posibles de $F$. Propuesto por David-Andrei Anghel, Rumania. Esta publicación ha sido editada 6 veces. Última edición por egxa, 27 de abril de 2025, 4:59 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Iveela 177 publicaciones Iveela #1 h 11 de oct. de 2025, 7:53 a. m. Y por Sea $ABC$ un triángulo escaleno con incentro $I$ y circuncírculo $\omega$. El rayo $AI$ corta a $\omega$ nuevamente en $M$. Suponga que $P$ es la reflexión de $I$ en la recta $BC$. Sea $Q$ el punto en el arco menor $AM$ de $\omega$ tal que $\angle AQP = 90^{\circ}$. Las rectas $IP$ y $BC$ se cortan en $D$. Si la recta $QD$ corta a $\omega$ nuevamente en $N$, demuestre que $IM = IN$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Iveela, 11 de oct. de 2025, 7:54 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mavropnevma 15142 publicaciones mavropnevma #1 h 30 de junio de 2013, 10:16 a. m. • 15 Y Y por Ygg, manuel153, Hantaehee, school5, Kunihiko_Chikaya, Amir Hossein, amatysten, doxuanlong15052000, wiseman, Dattier, Centralorbit, megarnie, MatBoy-123, Adventure10 y otro usuario Determine todos los enteros positivos $x$ , $y$ y $z$ tales que $x^5 + 4^y = 2013^z$ . ( Serbia ) Z K Y