$25$ pequeños burros están de pie en una fila; el más a la derecha de ellos es Igor. Winnie-the-Pooh quiere dar un globo de uno de los siete colores del arco iris a cada burro, de modo que los burros sucesivos reciban globos de diferentes colores, y de modo que al menos un globo de cada color se dé a algún burro. Igor quiere dar a cada uno de los $24$ burros restantes una olla de uno de los seis colores del arco iris (excepto el rojo), de modo que al menos una olla de cada color se dé a algún burro (pero los burros sucesivos pueden recibir ollas del mismo color). ¿Cuál de los dos amigos tiene más formas de implementar su plan, y cuántas veces más? Igor es un personaje de los libros de Winnie-the-Pooh de A. A. Milne. Generalmente se le representa como un burro de peluche viejo, gris, deprimido, pesimista y sombrío, que es amigo del personaje titular, Winnie-the-Pooh. Su nombre es una representación onomatopéyica del sonido de rebuzno hecho por un burro normal. Por supuesto, Winnie-the-Pooh es un oso antropomórfico ficticio.

Un círculo está contenido en un cuadrilátero con lados sucesivos de longitudes $3,6,5$ y $8$. Demuestre que la longitud de su radio es menor que $3$.

Resuelva en enteros positivos la siguiente ecuación: \\[{1\over n^2}-{3\over 2n^3}={1\over m^2}\]

Los vértices de un $2012$-gono regular están etiquetados $A_1,A_2,\ldots, A_{2012}$ en algún orden. Se sabe que si $k+\ell$ y $m+n$ dejan el mismo residuo cuando se dividen por $2012$, entonces las cuerdas $A_kA_{\ell}$ y $A_mA_n$ no tienen puntos en común. Vasya camina alrededor del polígono y ve que los dos primeros vértices están etiquetados $A_1$ y $A_4$. ¿Cómo está etiquetado el décimo vértice?

Sea $p=1601$. Demuestre que si \[\dfrac {1} {0^2+1}+\dfrac{1}{1^2+1}+\cdots+\dfrac{1}{(p-1)^2+1}=\dfrac{m} {n},\] donde solo sumamos sobre términos con denominadores no divisibles por $p$ (y la fracción $\dfrac {m} {n}$ está en términos reducidos) entonces $p \mid 2m+n$.

Demuestre que $N^2$ enteros positivos distintos arbitrarios ( $N>10$ ) pueden ser dispuestos en una tabla de $N\times N$, de modo que las $2N$ sumas en filas y columnas sean distintas.

Se da un rectángulo $ABCD$. El segmento $DK$ es igual a $BD$ y se encuentra en la semirrecta $DC$. $M$ es el punto medio de $BK$. Demuestre que $AM$ es la bisectriz del ángulo $\angle BAC$.

Tanya y Serezha se turnan para colocar fichas en casillas vacías de un tablero de ajedrez. Tanya comienza con una ficha en una casilla arbitraria. En cada siguiente movimiento, Serezha debe poner una ficha en la columna donde Tanya puso su última ficha, mientras que Tanya debe poner una ficha en la fila donde Serezha puso su última ficha. El jugador que no puede hacer un movimiento pierde. ¿Cuál de los jugadores tiene una estrategia ganadora?

Los enteros no divisibles por $2012$ están dispuestos en los arcos de un grafo orientado. Llamamos peso de un vértice a la diferencia entre la suma de los números en los arcos que entran en él y la suma de los números en los arcos que salen de él. Se sabe que el peso de cada vértice es divisible por $2012$. Demuestre que se pueden disponer enteros no nulos con valores absolutos que no excedan $2012$ en los arcos de este grafo, de modo que el peso de cada vértice sea cero.

Demuestre que para cualquier número real $a,b,c$ que satisfaga $abc = 1$, la siguiente desigualdad se cumple \[\dfrac{1} {2a^2+b^2+3}+\dfrac {1} {2b^2+c^2+3}+\dfrac{1} {2c^2+a^2+3}\leq \dfrac {1} {2}.\]