El cuadrilátero $ABCD$ es cíclico y circunscrito. Su incírculo toca sus lados $AB$ y $CD$ en los puntos $X$ e $Y$, respectivamente. Las perpendiculares a $AB$ y $CD$ trazadas en $A$ y $D$, respectivamente, se encuentran en el punto $U$; las trazadas en $X$ e $Y$ se encuentran en el punto $V$, y finalmente, las trazadas en $B$ y $C$ se encuentran en el punto $W$. Demuestre que los puntos $U$, $V$ y $W$ son colineales.

Resuelva en enteros positivos la siguiente ecuación: \\[{1\over n^2}-{3\over 2n^3}={1\over m^2}\]

Sea $p=4k+3$ un número primo. Demuestre que si \[\dfrac {1} {0^2+1}+\dfrac{1}{1^2+1}+\cdots+\dfrac{1}{(p-1)^2+1}=\dfrac{m} {n}\] (donde la fracción $\dfrac {m} {n}$ está en términos reducidos), entonces $p \mid 2m-n$.

Se toma un punto $P$ en el interior del triángulo $ABC$, de modo que \[\angle PAB = \angle PCB = \dfrac {1} {4} (\angle A + \angle C).\] Sea $L$ el pie de la bisectriz del ángulo $\angle B$. La línea $PL$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $\triangle APC$ en el punto $Q$. Demuestre que $QB$ es la bisectriz del ángulo $\angle AQC$.

Sea $P(x)$ un trinomio cuadrático real, de modo que para todo $x\in \mathbb{R}$ la desigualdad $P(x^3+x)\geq P(x^2+1)$ se cumple. Encuentre la suma de las raíces de $P(x)$.

Tanya y Serezha se turnan para colocar fichas en casillas vacías de un tablero de ajedrez. Tanya comienza con una ficha en una casilla arbitraria. En cada siguiente movimiento, Serezha debe poner una ficha en la columna donde Tanya puso su última ficha, mientras que Tanya debe poner una ficha en la fila donde Serezha puso su última ficha. El jugador que no puede hacer un movimiento pierde. ¿Cuál de los jugadores tiene una estrategia ganadora?

Sea $(a_n)$ definida por: $$ a_1 = 2, \qquad a_{n+1} = a_n^3 - a_n + 1 $$ Considere enteros positivos $n,p$, donde $p$ es un primo impar. Pruebe que si $p | a_n$, entonces $p > n$.

Dos círculos de radio $R$ y $r$, con $R>r$, son tangentes entre sí externamente. Los lados adyacentes a la base de un triángulo isósceles son tangentes comunes a estos círculos. La base del triángulo es tangente al círculo del radio mayor. Determine la longitud de la base del triángulo.

Sea $a$ un número real, tal que $a\ne 0, a\ne 1, a\ne -1$ y $m,n,p,q$ sean números naturales. Pruebe que si $a^m+a^n=a^p+a^q$ y $a^{3m}+a^{3n}=a^{3p}+a^{3q}$, entonces $m \cdot n = p \cdot q$.

En el centro de un cuadrado hay un conejo y en cada vértice de este cuadrado par, un lobo. Los lobos solo se mueven a lo largo de los lados del cuadrado y el conejo se mueve libremente en el plano. Sabiendo que el conejo se mueve a una velocidad de $10$ km / h y que los lobos se mueven a una velocidad máxima de $14$ km / h, determine si existe una estrategia para que el conejo salga del cuadrado sin ser atrapado por los lobos.