La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Tintarn 9107 publicaciones Tintarn #1 h 4 de abril de 2024, 12:39 PM • 1 Y Y por mxsail Encuentre todos los enteros $n \ge 2$ para los cuales existen $n$ enteros $a_1,a_2,\dots,a_n \ge 2$ tales que para todos los índices $i \ne j$, se cumple que $a_i \mid a_j^2+1$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 13 de sep. de 2018, 2:54 p. m. • 3 Y Y por donotoven, Adventure10, Mango247 En un triángulo $ABC$ , rectángulo en $A$ e isósceles, sea $D$ un punto en el lado $AC$ ( $A \ne D \ne C$ ) y $E$ el punto en la prolongación de $BA$ tal que el triángulo $ADE$ es isósceles. Sea $P$ el punto medio del segmento $BD$ , $R$ el punto medio del segmento $CE$ y $Q$ el punto de intersección de $ED$ y $BC$ . Demuestre que el cuadrilátero $ARQP$ es un cuadrado. Esta publicación ha sido editada 6 veces. Última edición por parmenides51, 8 de jun. de 2024, 11:28 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Matematika 139 publicaciones Matematika #1 h 26 de julio de 2013, 8:46 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $S$ el conjunto de enteros positivos. Para cualesquiera $a$ y $b$ en el conjunto, tenemos $GCD(a, b)>1$. Para cualesquiera $a$, $b$ y $c$ en el conjunto, tenemos $GCD(a, b, c)=1$. ¿Es posible que $S$ tenga $2012$ elementos? Propuesto por Ognjen Stipetić. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 2 de mayo de 2023, 5:34 AM Y por En su pizarra, Alice ha escrito $n$ enteros estrictamente mayores que $1$. Luego, ella puede, tantas veces como desee, borrar dos números $a$ y $b$ tales que $a \neq b$, y reemplazarlos por $q$ y $q^2$, donde $q$ es el producto de los factores primos de $ab$ (cada factor primo se cuenta solo una vez). Por ejemplo, si Alice borra los números $4$ y $6$, los factores primos de $ab = 2^3 \times 3$ son $2$ y $3$, y Alice escribe $q = 6$ y $q^2 = 36$. Demuestre que, después de cierto tiempo, y cualquiera que sea la estrategia de Alice, la lista de números escritos en la pizarra nunca volverá a cambiar. Nota: El orden de los números de la lista no es importante. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. N.T.TUAN 3595 publicaciones N.T.TUAN #1 h 25 de ago. de 2007, 10:51 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En un cuadrilátero convexo, se trazan ocho segmentos, cada uno de los cuales conecta un vértice con el punto medio de algún lado opuesto. Siete de estos segmentos tienen la misma longitud $ a$ . Demuestre que el octavo también tiene longitud $ a$ . Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. User335559 472 publicaciones User335559 #1 h 1 de abril de 2017, 8:46 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dados $n$ números distintos de $0$ , ( $n \in \mathbb{N}$ ) los cuales están dispuestos aleatoriamente. Realizamos la siguiente operación: Elegimos algunos números consecutivos en el orden dado y cambiamos su signo (es decir, $x \rightarrow -x$ ). ¿Cuál es el número mínimo de operaciones necesarias para hacer que todos los números sean positivos para cualquier configuración inicial dada de los $n$ números? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shobber 3498 publicaciones shobber #1 h 17 de mar. de 2006, 6:45 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El triángulo $A_1 A_2 A_3$ tiene un ángulo recto en $A_3$. Una sucesión de puntos se define ahora mediante el siguiente proceso iterativo, donde $n$ es un entero positivo. Desde $A_n$ ($n \geq 3$), se traza una línea perpendicular que corta a $A_{n-2}A_{n-1}$ en $A_{n+1}$. (a) Demuestre que si este proceso continúa indefinidamente, entonces existe uno y solo un punto $P$ interior a cada triángulo $A_{n-2} A_{n-1} A_{n}$, $n \geq 3$. (b) Sean $A_1$ y $A_3$ puntos fijos. Considerando todas las ubicaciones posibles de $A_2$ en el plano, encuentre el lugar geométrico de $P$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. User335559 472 publicaciones User335559 #1 h 1 de abril de 2017, 9:10 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El incírculo del $ \triangle A_{0}B_{0}C_{0}$ toca los lados $B_{0}C_{0}$ , $C_{0}A_{0}$ , $A_{0}B_{0}$ , respectivamente en los puntos $A$ , $B$ , $C$ , y el incírculo del $ \triangle ABC$ , con centro $I$ , toca los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , en los puntos $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ , respectivamente. Denotamos con $ \sigma (ABC)$ y $ \sigma (A_{1}B_{1}C_{1})$ las áreas del $ \triangle ABC$ y del $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ respectivamente. Demuestre que si $ \sigma (ABC)=2 \sigma (A_{1}B_{1}C_{1})$ , entonces las rectas $AA_{0}$ , $BB_{0}$ , $CC_{0}$ son concurrentes. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Tintarn 9107 publicaciones Tintarn #1 h 4 de abr. de 2024, 12:36 p. m. • 2 Y Y por farhad.fritl, mxsail Dados $n \ge 2$ puntos en un círculo, Alice y Bob juegan el siguiente juego. Inicialmente, se coloca una ficha en uno de los puntos y no se ha dibujado ningún segmento. Los jugadores alternan turnos, comenzando Alice. En su turno, un jugador mueve la ficha desde su posición actual $P$ a uno de los otros $n-1$ puntos $Q$ y dibuja el segmento $PQ$. Este movimiento no está permitido si el segmento $PQ$ ya ha sido dibujado. Si un jugador no puede realizar un movimiento, el juego termina y el oponente gana. Determine, para cada $n$, cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Tintarn 9107 publicaciones Tintarn #1 h 4 de abr. de 2024, 12:37 p. m. • 2 Y Y por Rounak_iitr, mxsail Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sea $O$ su circuncentro. Sea $D$ un punto en el segmento $AC$ tal que $AB=AD$. Sea $E$ la intersección de la recta $AB$ con la recta perpendicular a $AO$ que pasa por $D$. Sea $F$ la intersección de la recta perpendicular a $OC$ que pasa por $C$ con la recta paralela a $AC$ que pasa por $E$. Finalmente, sean $CE$ y $DF$ las rectas que se intersecan en $G$. Demuestre que $AG$ y $BF$ son paralelas. Z K Y