Determine todos los números de diez dígitos cuya representación decimal $\overline{a_0a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9}$ está dada por tal que para cada entero $j$ con $0\le j \le 9, a_j$ es igual al número de dígitos iguales a $j$ en esta representación. Es decir: el primer dígito es igual a la cantidad de '0' en la escritura de ese número, el segundo dígito es igual a la cantidad de '1' en la escritura de ese número, el tercer dígito es igual a la cantidad de '2' en la escritura de ese número, ... , el décimo dígito es igual al número de '9' en la escritura de ese número.

En un triángulo $ABC, L$ y $K$ son los puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle BAC$ con los segmentos $AC$ y $BC$, respectivamente. El segmento $KL$ es bisectriz del ángulo $\angle AKC$, determine $\angle BAC$.

Una cadena binaria es una secuencia, cada uno de cuyos términos es $0$ o $1$ . Un conjunto $\mathcal{B}$ de cadenas binarias se define inductivamente de acuerdo con las siguientes reglas. La cadena binaria $1$ está en $\mathcal{B}$ . Si $s_1,s_2,\dotsc ,s_n$ está en $\mathcal{B}$ con $n$ impar, entonces tanto $s_1,s_2,\dotsc ,s_n,0$ como $0,s_1,s_2,\dotsc ,s_n$ están en $\mathcal{B}$ . Si $s_1,s_2,\dotsc ,s_n$ está en $\mathcal{B}$ con $n$ par, entonces tanto $s_1,s_2,\dotsc ,s_n,1$ como $1,s_1,s_2,\dotsc ,s_n$ están en $\mathcal{B}$ . Ninguna otra cadena binaria está en $\mathcal{B}$ . Para cada entero positivo $n$ , sea $b_n$ el número de cadenas binarias en $\mathcal{B}$ de longitud $n$ . Demuestre que existen constantes $c_1,c_2>0$ y $1.6<\lambda_1,\lambda_2<1.9$ tales que $c_1\lambda_1^n<b_n<c_2\lambda_2^n$ para todo entero positivo $n$ . Determine $\liminf_{n\to \infty} {\sqrt[n]{b_n}}$ y $\limsup_{n\to \infty} {\sqrt[n]{b_n}}$ Nota: El problema está abierto en el sentido de que actualmente no se conoce ninguna solución para la parte (b).

Sea $G$ un grafo simple finito y sea $k$ el número más grande de vértices de cualquier clique en $G$ . Suponga que etiquetamos cada vértice de $G$ con un número real no negativo, de modo que la suma de todas estas etiquetas sea $1$ . Defina el valor de una arista como el producto de las etiquetas de los dos vértices en sus extremos. Defina el valor de un etiquetado como la suma de los valores de las aristas. Demuestre que el valor máximo posible de un etiquetado de $G$ es $\frac{k-1}{2k}$ . (Un grafo simple finito es un grafo con finitamente muchos vértices, en el que cada arista conecta dos vértices distintos y no dos aristas conectan los mismos dos vértices. Una clique en un grafo es un conjunto de vértices en el que dos cualesquiera están conectados por una arista.)

Para cada número primo impar $p$ , demuestre que el entero $$1!+2!+3!+\cdots +p!-\left\lfloor \frac{(p-1)!}{e}\right\rfloor$$ es divisible por $p$ (Aquí, $e$ denota la base del logaritmo natural y $\lfloor x\rfloor$ denota el entero más grande que es menor o igual que $x$ . )

Determine todos los pares $(a,b)$ de números reales con $a\leqslant b$ que maximicen la integral $$\int_a^b e^{\cos (x)}(380-x-x^2) \mathrm{d} x.$$

Suponga que $x_1,x_2,x_3,\dotsc$ es una secuencia estrictamente decreciente de números reales positivos tal que la serie $x_1+x_2+x_3+\cdots$ diverge. ¿Es necesariamente cierto que la serie $\sum_{n=2}^{\infty}{\min \left\{ x_n,\frac{1}{n\log (n)}\right\} }$ diverge?

Para algún entero positivo $n$ , una moneda será lanzada $n$ veces para obtener una secuencia de $n$ caras y cruces. Para cada lanzamiento de la moneda, existe una probabilidad $p$ de obtener una cara y una probabilidad $1-p$ de obtener una cruz, donde $0<p<1$ es un número racional. Kim escribe todas las $2^n$ posibles secuencias de $n$ caras y cruces en dos columnas, con algunas secuencias en la columna izquierda y las secuencias restantes en la columna derecha. A Kim le gustaría que la secuencia producida por los lanzamientos de la moneda aparezca en la columna izquierda con probabilidad $1/2$ . Determine todos los pares $(n,p)$ para los cuales esto es posible.

Considere la operación $\ast$ que toma un par de enteros y devuelve un entero según la regla $$a\ast b=a\times (b+1).$$ Para cada entero positivo $n$ , determine todas las permutaciones $a_1,a_2,\dotsc , a_n$ del conjunto $\{ 1,2,\dotsc ,n\}$ que maximicen el valor de $$(\cdots ((a_1\ast a_2)\ast a_3) \ast \cdots \ast a_{n-1})\ast a_n.$$ Para cada entero positivo $n$ , determine todas las permutaciones $b_1,b_2,\dotsc , b_n$ del conjunto $\{ 1,2,\dotsc ,n\}$ que maximicen el valor de $$b_1\ast (b_2\ast (b_3\ast \cdots \ast (b_{n-1}\ast b_n)\cdots )).$$

Considere la secuencia de enteros positivos definida por $s_1,s_2,s_3, \dotsc $ de enteros positivos definida por $s_1=2$ , y para cada entero positivo $n$ , $s_{n+1}$ es igual a $s_n$ más el producto de factores primos de $s_n$ . Los primeros términos de la secuencia son $2,4,6,12,18,24$ . Demuestre que el producto de los $2019$ primos más pequeños es un término de la secuencia.