Sea $ \mathbb{N}$ denote el conjunto de todos los enteros positivos. Pruebe que existe una función única $ f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ que satisface \[ f(m + f(n)) = n + f(m + 95) \] para todos $ m$ y $ n$ en $ \mathbb{N}.$ ¿Cuál es el valor de $ \sum^{19}_{k = 1} f(k)?$

Para enteros positivos $ n,$ los números $ f(n)$ se definen inductivamente como sigue: $ f(1) = 1,$ y para cada entero positivo $ n,$ $ f(n+1)$ es el entero más grande $ m$ tal que existe una progresión aritmética de enteros positivos $ a_1 < a_2 < \ldots < a_m = n$ para la cual \[ f(a_1) = f(a_2) = \ldots = f(a_m).\] Pruebe que existen enteros positivos $ a$ y $ b$ tales que $ f(an+b) = n+2$ para cada entero positivo $ n.$

Suponga que $ x_1, x_2, x_3, \ldots$ son números reales positivos para los cuales \[ x^n_n = \sum^{n-1}_{j=0} x^j_n\] para $ n = 1, 2, 3, \ldots$ Pruebe que $ \forall n,$ \[ 2 - \frac{1}{2^{n-1}} \leq x_n < 2 - \frac{1}{2^n}.\]

Para un entero $x \geq 1$ , sea $p(x)$ el primo más pequeño que no divide a $x$ , y defina $q(x)$ como el producto de todos los primos menores que $p(x)$ . En particular, $p(1) = 2.$ Para $x$ teniendo $p(x) = 2$ , defina $q(x) = 1$ . Considere la secuencia $x_0, x_1, x_2, \ldots$ definida por $x_0 = 1$ y \[ x_{n+1} = \frac{x_n p(x_n)}{q(x_n)} \] para $n \geq 0$ . Encuentre todos los $n$ tales que $x_n = 1995$ .

Encuentre el valor máximo de $ x_{0}$ para el cual existe una secuencia $ x_{0},x_{1}\cdots ,x_{1995}$ de reales positivos con $ x_{0} = x_{1995}$ , tal que \[ x_{i - 1} + \frac {2}{x_{i - 1}} = 2x_{i} + \frac {1}{x_{i}}, \] para todo $ i = 1,\cdots ,1995$ .

¿Existe una secuencia $ F(1), F(2), F(3), \ldots$ de enteros no negativos que satisfaga simultáneamente las siguientes tres condiciones? (a) Cada uno de los enteros $ 0, 1, 2, \ldots$ aparece en la secuencia. (b) Cada entero positivo aparece en la secuencia infinitamente a menudo. (c) Para cualquier $ n \geq 2,$ \[ F(F(n^{163})) = F(F(n)) + F(F(361)).\]

Sea $ p$ un primo impar. Determine enteros positivos $ x$ e $ y$ para los cuales $ x \leq y$ y $ \sqrt{2p} - \sqrt{x} - \sqrt{y}$ es no negativo y tan pequeño como sea posible.

¿Existe un entero $ n > 1$ que satisfaga la siguiente condición? El conjunto de enteros positivos se puede dividir en $ n$ subconjuntos no vacíos, de tal manera que una suma arbitraria de $ n - 1$ enteros, uno tomado de cada uno de los $ n - 1$ de los subconjuntos, se encuentra en el subconjunto restante.

Sea $ p$ un número primo impar. ¿Cuántos subconjuntos de $ p$ elementos $ A$ de $ \{1,2,\dots,2p\}$ hay, la suma de cuyos elementos es divisible por $ p$ ?

En una reunión de $ 12k$ personas, cada persona intercambia saludos con exactamente $ 3k+6$ otros. Para dos personas cualesquiera, el número que intercambia saludos con ambos es el mismo. ¿Cuántas personas hay en la reunión?