Encuentra todos los $ x,y$ y $ z$ en enteros positivos: $ z + y^{2} + x^{3} = xyz$ y $ x = \gcd(y,z)$ .

Suponga que $ ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. Sea $ E = AC\cap BD$ y $ F = AB\cap CD$. Denotemos por $ H_{1}$ y $ H_{2}$ los ortocentros de los triángulos $ EAD$ y $ EBC$, respectivamente. Demuestre que los puntos $ F$, $ H_{1}$, $ H_{2}$ son colineales. Formulación original: Sea $ ABC$ un triángulo. Un círculo que pasa por $ B$ y $ C$ interseca los lados $ AB$ y $ AC$ nuevamente en $ C'$ y $ B'$, respectivamente. Demuestre que $ BB'$, $CC'$ y $ HH'$ son concurrentes, donde $ H$ y $ H'$ son los ortocentros de los triángulos $ ABC$ y $ AB'C'$ respectivamente.

Sea ABCD un cuadrilátero convexo y O un punto dentro de él. Sean las paralelas a las líneas BC, AB, DA, CD que pasan por el punto O y que se intersecan con los lados AB, BC, CD, DA del cuadrilátero ABCD en los puntos E, F, G, H, respectivamente. Entonces, demuestre que $ \sqrt {\left|AHOE\right|} + \sqrt {\left|CFOG\right|}\leq\sqrt {\left|ABCD\right|}$, donde $ \left|P_1P_2...P_n\right|$ es una abreviatura del área no dirigida de un polígono arbitrario $ P_1P_2...P_n$.

Sea $ A_1A_2A_3A_4$ un tetraedro, $ G$ su centroide, y $ A'_1, A'_2, A'_3,$ y $ A'_4$ los puntos donde la circunferencia circunscrita de $ A_1A_2A_3A_4$ interseca a $ GA_1,GA_2,GA_3,$ y $ GA_4,$ respectivamente. Demuestre que \[ GA_1 \cdot GA_2 \cdot GA_3 \cdot GA_ \cdot4 \leq GA'_1 \cdot GA'_2 \cdot GA'_3 \cdot GA'_4\] y \[ \frac{1}{GA'_1} + \frac{1}{GA'_2} + \frac{1}{GA'_3} + \frac{1}{GA'_4} \leq \frac{1}{GA_1} + \frac{1}{GA_2} + \frac{1}{GA_3} + \frac{1}{GA_4}.\]

Sea $ ABCDEF$ un hexágono convexo con $ AB = BC = CD$ y $ DE = EF = FA$, tal que $ \angle BCD = \angle EFA = \frac {\pi}{3}$. Suponga que $ G$ y $ H$ son puntos en el interior del hexágono tales que $ \angle AGB = \angle DHE = \frac {2\pi}{3}$. Demuestre que $ AG + GB + GH + DH + HE \geq CF$.

Se da un triángulo acutángulo $ ABC$ . Se toman los puntos $ A_1$ y $ A_2$ en el lado $ BC$ (con $ A_2$ entre $ A_1$ y $ C$ ) , $ B_1$ y $ B_2$ en el lado $ AC$ (con $ B_2$ entre $ B_1$ y $ A$ ) , y $ C_1$ y $ C_2$ en el lado $ AB$ (con $ C_2$ entre $ C_1$ y $ B$ ) de modo que \[ \angle AA_1A_2 = \angle AA_2A_1 = \angle BB_1B_2 = \angle BB_2B_1 = \angle CC_1C_2 = \angle CC_2C_1.\] Las líneas $ AA_1,BB_1,$ y $ CC_1$ delimitan un triángulo, y las líneas $ AA_2,BB_2,$ y $ CC_2$ delimitan un segundo triángulo. Demuestre que los seis vértices de estos dos triángulos se encuentran en un solo círculo.

El incírculo del triángulo $ \triangle ABC$ toca los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ en $ D, E, F$ respectivamente. $ X$ es un punto dentro del triángulo $ \triangle ABC$ tal que el incírculo del triángulo $ \triangle XBC$ toca $ BC$ en $ D$ , y toca $ CX$ y $ XB$ en $ Y$ y $ Z$ respectivamente. Demuestre que $ E, F, Z, Y$ son concíclicos.

Sean $ A, B$ y $ C$ puntos no colineales. Demuestre que existe un único punto $ X$ en el plano de $ ABC$ tal que \[ XA^2 + XB^2 + AB^2 = XB^2 + XC^2 + BC^2 = XC^2 + XA^2 + CA^2.\]

Sean $ A,B,C,D$ cuatro puntos distintos en una recta, en ese orden. Los círculos con diámetros $ AC$ y $ BD$ se intersecan en $ X$ y $ Y$ . La recta $ XY$ se encuentra con $ BC$ en $ Z$ . Sea $ P$ un punto en la recta $ XY$ diferente de $ Z$ . La recta $ CP$ interseca el círculo con diámetro $ AC$ en $ C$ y $ M$ , y la recta $ BP$ interseca el círculo con diámetro $ BD$ en $ B$ y $ N$ . Demuestre que las rectas $ AM,DN,XY$ son concurrentes.

Sea $ n$ un entero, $ n \geq 3.$ Sean $ a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales tales que $ 2 \leq a_i \leq 3$ para $ i = 1, 2, \ldots, n.$ Si $ s = a_1 + a_2 + \ldots + a_n,$ demuestra que \[ \frac{a^2_1 + a^2_2 - a^2_3}{a_1 + a_2 - a_3} + \frac{a^2_2 + a^2_3 - a^2_4}{a_2 + a_3 - a_4} + \ldots + \frac{a^2_n + a^2_1 - a^2_2}{a_n + a_1 - a_2} \leq 2s - 2n.\]