Sean $ a$ y $ b$ enteros no negativos tales que $ ab \geq c^2,$ donde $ c$ es un entero. Demuestra que existe un número $ n$ y enteros $ x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n$ tales que \[ \sum^n_{i=1} x^2_i = a, \sum^n_{i=1} y^2_i = b, \text{ y } \sum^n_{i=1} x_iy_i = c.\]

Sean $ a$, $ b$, $ c$ números reales positivos tales que $ abc = 1$. Demuestra que \[ \frac {1}{a^{3}(b + c)} + \frac {1}{b^{3}(c + a)} + \frac {1}{c^{3}(a + b)}\geq \frac {3}{2}.\]

Olja escribe $n$ enteros positivos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ menores que $p_n$ donde $p_n$ denota el $n$ - ésimo número primo. Oleg puede elegir dos números (no necesariamente diferentes) $x$ e $y$ y reemplazar uno de ellos con su producto $xy$ . Si hay dos números iguales, Oleg gana. ¿Puede Oleg garantizar una victoria? Propuesto por Matko Ljulj.

Demuestra que la siguiente desigualdad se cumple para todos los números reales positivos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ y $f$ \[\sqrt[3]{\frac{abc}{a+b+d}}+\sqrt[3]{\frac{def}{c+e+f}} < \sqrt[3]{(a+b+d)(c+e+f)} \text{.}\] Propuesto por Dimitar Trenevski.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . Los segmentos $AH$ y $CH$ intersecan a los segmentos $BC$ y $AB$ en los puntos $A_1$ y $C_1$ respectivamente. Los segmentos $BH$ y $A_1C_1$ se encuentran en el punto $D$ . Sea $P$ el punto medio del segmento $BH$ . Sea $D'$ la reflexión del punto $D$ en $AC$ . Demuestra que el cuadrilátero $APCD'$ es cíclico. Propuesto por Matko Ljulj.

Encuentra todos los enteros positivos $a$ , $b$ , $n$ y números primos $p$ que satisfacen \[\quad a^{2013} + b^{2013} = p^n\text{.}\] Propuesto por Matija Bucić.

Sea $k$ un entero positivo. En la Copa Europea de Ajedrez cada par de jugadores jugó una partida en la que alguien ganó (no hubo empates). Para cualquier $k$ jugadores había un jugador contra quien todos perdieron, y el número de jugadores era el menor posible para tal $k$ . ¿Es posible que en la Ceremonia de Clausura todos los participantes estuvieran sentados en la mesa redonda de tal manera que cada participante estuviera sentado al lado de una persona contra la que ganó y una persona contra la que perdió? Propuesto por Matija Bucić.

¿Existen números reales positivos $x$ , $y$ y $z$ tales que $\qquad x^4 + y^4 + z^4 = 13\text{,} $ $\qquad x^3y^3z + y^3z^3x + z^3x^3y = 6\sqrt{3} \text{,} $ $\qquad x^3yz + y^3zx + z^3xy = 5\sqrt{3} \text{?} $ Propuesto por Matko Ljulj.

Sea $S$ el conjunto de enteros positivos. Para cualquier $a$ y $b$ en el conjunto tenemos $GCD(a, b)>1$ . Para cualquier $a$ , $b$ y $c$ en el conjunto tenemos $GCD(a, b, c)=1$ . ¿Es posible que $S$ tenga $2012$ elementos? Propuesto por Ognjen Stipetić.

Sea $ABC$ un triángulo y $Q$ un punto en la bisectriz interna del ángulo $\angle BAC $. El círculo $\omega_1$ está circunscrito al triángulo $BAQ$ e interseca al segmento $AC$ en el punto $P \neq C$ . El círculo $\omega_2$ está circunscrito al triángulo $CQP$ . El radio del círculo $\omega_1$ es mayor que el radio de $\omega_2$ . El círculo centrado en $Q$ con radio $QA$ interseca al círculo $\omega_1$ en los puntos $A$ y $A_1$ . El círculo centrado en $Q$ con radio $QC$ interseca a $\omega_1$ en los puntos $C_1$ y $C_2$ . Demuestra que $\angle A_1BC_1 = \angle C_2PA $. Propuesto por Matija Bucić.