Sea $d$ un número real positivo. El escorpión intenta atrapar a la pulga en un tablero de ajedrez de $10\times 10$ . La longitud del lado de cada pequeño cuadrado del tablero de ajedrez es $1$ . En este juego, la pulga y el escorpión se mueven alternativamente. La pulga siempre está en uno de los $121$ vértices del tablero de ajedrez y, en cada turno, puede saltar desde el vértice donde está a uno de los vértices adyacentes. El escorpión se mueve en la línea del borde del tablero de ajedrez, y, en cada turno, puede caminar a lo largo de cualquier camino de longitud menor que $d$ . Al principio, la pulga está en el centro del tablero de ajedrez y el escorpión está en un punto que él elige en la línea del borde. La pulga es la primera en jugar. Se dice que la pulga escapa si alcanza un punto de la línea del borde, que el escorpión no puede alcanzar en el siguiente turno. Obviamente, para valores grandes de $d$ , el escorpión tiene una estrategia para evitar el escape de la pulga. ¿Para qué valores de $d$ puede escapar la pulga? Justifica tu respuesta.

Considera dos círculos, tangentes en $T$ , ambos inscritos en un rectángulo de altura $2$ y ancho $4$ . Un punto $E$ se mueve en sentido antihorario alrededor del círculo de la izquierda, y un punto $D$ se mueve en sentido horario alrededor del círculo de la derecha. $E$ y $D$ comienzan a moverse al mismo tiempo; $E$ comienza en $T$ , y $D$ comienza en $A$ , donde $A$ es el punto donde el círculo de la derecha se intersecta con el lado superior del rectángulo. Ambos puntos se mueven con la misma velocidad. Encuentra el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos que unen $E$ y $D$ .

Cada uno de tres amigos, Mário, João y Filipe, practica uno, y solo uno, de los siguientes deportes: fútbol, baloncesto y natación. Ninguno de estos deportes es practicado por más de uno de los amigos. Cada uno de los amigos le gusta un cierto tipo de fruta: a uno le gustan las naranjas, a otro los plátanos y al otro las papayas. Encuentra, para cada uno, qué deporte practica y qué fruta prefiere, dado que:\n* Mário no le gustan las naranjas;\n* João no juega al fútbol;\n* El nadador odia los plátanos;\n* El nadador y al que le gustan las naranjas practican deportes diferentes;\n* Al que le gustan las papayas y el futbolista visitan a Filipe todos los sábados.

Considera una secuencia de triángulos equiláteros $T_{n}$ como se representa a continuación: [asy]\ndefaultpen(linewidth(0.8));size(350);\nreal r=sqrt(3);\npath p=origin--(2,0)--(1,sqrt(3))--cycle;\nint i,j,k;\nfor(i=1; i<5; i=i+1) {\nfor(j=0; j<i; j=j+1) {\nfor(k=0; k<j; k=k+1) {\ndraw(shift(5*i-5+(i-2)*(i-1)*1,0)*shift(2(j-k)+k, k*r)*p);\n}}}\n[/asy] La longitud del lado de los triángulos más pequeños es $1$ . Un triángulo se llama delta si su vértice está en la parte superior; por ejemplo, hay $10$ deltas en $T_{3}$ . Un delta se dice que es perfecto si la longitud de su lado es par. ¿Cuántos deltas perfectos hay en $T_{20}$ ?

Un entero no negativo $n$ se dice que es cuadrado digital si es igual al cuadrado de la suma de sus dígitos. Encuentra todos los enteros no negativos que son cuadrado digitales.

Demuestra que el área del círculo inscrito en un hexágono regular es mayor que el $90\%$ del área del hexágono.

¿Pueden tres personas, que tienen una motocicleta doble, superar la distancia de $70$ km en $3$ horas? La velocidad del peatón es de $5$ km / h y la velocidad de la motocicleta es de $50$ km / h.

Varios números racionales fueron escritos en la pizarra. Dima escribió sus partes fraccionarias en papel. Luego todos los números en la pizarra se elevaron al cuadrado, y Dima escribió otro papel con las partes fraccionarias de los números resultantes. Resultó que en los papeles de Dima se escribieron los mismos conjuntos de números (tal vez en diferente orden). Demuestre que los números originales en la pizarra eran enteros. (La parte fraccionaria de un número $x$ es tal número $\{x\}, 0 \le \{x\} <1$ , que $x-\{x\}$ es un entero.)

En el lado $AB$ de un triángulo isósceles $AB$ ( $AC=BC$ ) se encuentran los puntos $P$ y $Q$ tales que $\angle PCQ \le \frac{1}{2} \angle ACB$ . Demuestre que $PQ \le \frac{1}{2} AB$ .

Todos los enteros positivos se distribuyen entre dos conjuntos disjuntos $N_{1}$ y $N_{2}$ de tal manera que ninguna diferencia de dos números que pertenecen al mismo conjunto es un primo mayor que 100. Encuentre todas esas distribuciones.