Los números naturales $1, 2, 3,.., 100$ están contenidos en la unión de $N$ progresiones geométricas (no necesariamente con denominaciones enteras). Demuestre que $N \ge 31$

Sea ABC un triángulo isósceles agudo ( $AB=BC$ ) inscrito en un círculo con centro $O$ . La línea que pasa por el punto medio de la cuerda $AB$ y el punto $O$ interseca la línea $AC$ en $L$ y el círculo en el punto $P$ . Sea la bisectriz del ángulo $BAC$ interseca el círculo en el punto $K$ . Las líneas $AB$ y $PK$ se intersecan en el punto $D$ . Demuestre que los puntos $L,B,D$ y $P$ se encuentran en el mismo círculo.

¿Es posible colocar enteros en las celdas de la hoja de verificación infinita de modo que cada entero aparezca al menos en una celda, y la suma de cualquier $10$ números en una fila vertical u horizontal, sea divisible por $101$ ?

$16$ jugadores de ajedrez celebraron un torneo entre ellos: cada dos jugadores de ajedrez jugaron exactamente una partida. Por la victoria en la partida se dio $1$ punto, por un empate $0.5$ puntos, por la derrota $0$ puntos. Resultó que exactamente 15 jugadores de ajedrez compartieron el primer lugar. ¿Cuántos puntos pudo anotar el decimosexto jugador de ajedrez?

¿Es posible colorear todos los números reales positivos con 10 colores de modo que cada dos números con representaciones decimales que difieren en un solo lugar sean de diferentes colores? (Suponemos que no hay lugar en una representación decimal tal que todos los dígitos a partir de ese lugar sean 9).

$ABCD$ es un cuadrilátero convexo; las semirrectas $DA$ y $CB$ se encuentran en el punto $Q$ ; las semirrectas $BA$ y $CD$ se encuentran en el punto $P$ . Se sabe que $\angle AQB=\angle APD$ . La bisectriz del ángulo $\angle AQB$ se encuentra con los lados $AB$ y $CD$ del cuadrilátero en los puntos $X$ e $Y$ , respectivamente; la bisectriz del ángulo $\angle APD$ se encuentra con los lados $AD$ y $BC$ en los puntos $Z$ y $T$ , respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $ZQT$ y $XPY$ se encuentran en el punto $K$ dentro del cuadrilátero. Demuestre que $K$ se encuentra en la diagonal $AC$ .

Números distintos de cero están dispuestos en un cuadrado de $n \times n$ ( $n>2$ ) . Cada número es exactamente $k$ veces menor que la suma de todos los demás números en la misma cruz (es decir, $2n-2$ números escritos en la misma fila o columna con este número). Encuentre todos los $k$ posibles.

Todos los enteros positivos se distribuyen entre dos conjuntos disjuntos $N_{1}$ y $N_{2}$ de tal manera que ninguna diferencia de dos números que pertenecen al mismo conjunto es un primo mayor que 100. Encuentre todas esas distribuciones.

El cuadrado unitario $ABCD$ está dividido en $10^{12}$ cuadrados más pequeños (no necesariamente iguales). Demuestre que la suma de los perímetros de todos los cuadrados más pequeños que tienen puntos en común con la diagonal $AC$ no excede 1500.

¿Existen trinomios cuadráticos $P, \ \ Q, \ \ R$ tales que para cada enteros $x$ e $y$ exista un entero $z$ que satisfaga $P(x)+Q(y)=R(z)?$