Resuelva la ecuación \[(a^{2},b^{2})+(a,bc)+(b,ac)+(c,ab)=199.\] en enteros positivos. (Aquí $(x,y)$ denota el máximo común divisor de $x$ e $y$ . )

Diez equipos de voleibol jugaron un torneo; cada dos equipos se enfrentaron exactamente una vez. El ganador del juego obtiene 1 punto, el perdedor obtiene 0 (no hay empates en el voleibol). Si el equipo que anotó $n$ - ésimo tiene $x_{n}$ puntos ( $n=1, \dots, 10$ ) , pruebe que $x_{1}+2x_{2}+\dots+10x_{10}\geq 165$ .

Demostrar que existe una secuencia de enteros positivos $x_1, x_2,…x_n,…$ que satisface las dos condiciones siguientes:\n(i) Cada entero positivo aparece exactamente una vez,\n(ii) Para cada $n=1,2,…$ la suma parcial $x_1+x_2+…+x_n$ es divisible por $n^n$ .

Sea $n=3k+1$ , donde $k$ es un entero positivo. Se forma un arreglo triangular de lado $n$ usando círculos con el mismo radio, como se muestra en la figura para $n=7$ . Determinar, para cada $k$ , el número más grande de círculos que se pueden colorear de rojo de tal manera que no haya dos círculos mutuamente tangentes que estén coloreados de rojo.

En un triángulo acutángulo $ABC$ , los puntos $H$ , $G$ y $M$ están ubicados en $BC$ de tal manera que $AH$ , $AG$ y $AM$ son la altura, la bisectriz y la mediana del triángulo, respectivamente. Se sabe que $HG=GM$ , $AB=10$ y $AC=14$ . Encontrar el área del triángulo $ABC$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $\angle{B}=60$ . La circunferencia con diámetro $AC$ interseca las bisectrices internas de los ángulos $A$ y $C$ en los puntos $M$ y $N$ , respectivamente $(M\neq{A},$ $N\neq{C})$ . La bisectriz interna de $\angle{B}$ interseca $MN$ y $AC$ en los puntos $R$ y $S$ , respectivamente. Demostrar que $BR\leq{RS}$ .

Definir la secuencia $\{a_n\}$ de la siguiente manera:\n$a_1=1$\n$a_2=3$\n$a_{n+2}=2a_{n+1}a_{n}+1$ ; para todo $n\geq1$\nDemostrar que la mayor potencia de $2$ que divide a $a_{4006}-a_{4005}$ es $2^{2003}.$

En un torneo de fútbol entre cuatro equipos, $A$, $B$, $C$ y $D$, cada equipo juega contra cada uno de los otros exactamente una vez.\na) Decidir si, al final del torneo, es posible que las cantidades de goles marcados y goles permitidos para cada equipo sean las siguientes:\n$\n\begin{tabular}{ c|c|c|c|c }\n{} & A & B & C & D \\\n\hline\nGoles marcados & 1 & 3 & 6 & 7 \\\n\hline\nGoles permitidos & 4 & 4 & 4 & 5 \\\n\end{tabular}\n$\nSi la respuesta es sí, dar un ejemplo de los resultados de los seis partidos; en caso contrario, justificar su respuesta.\nb) Decidir si, al final del torneo, es posible que las cantidades de goles marcados y goles permitidos para cada equipo sean las siguientes:\n$\n\begin{tabular}{ c|c|c|c|c }\n{} & A & B & C & D \\\n\hline\nGoles marcados & 1 & 3 & 6 & 13 \\\n\hline\nGoles permitidos & 4 & 4 & 4 & 11 \\\n\end{tabular}\n$\nSi la respuesta es sí, dar un ejemplo de los resultados de los seis partidos; en caso contrario, justificar su respuesta.

a) Tenemos una secuencia geométrica de $3$ términos. Si la suma de estos términos es $26$ , y su suma de cuadrados es $364$ , encuentre los términos de la secuencia. b) Suponga que $a,b,c,u,v,w$ son números reales positivos , y cada uno de $a,b,c$ y $u,v,w$ son secuencias geométricas. Suponga también que $a+u,b+v,c+w$ son una secuencia aritmética. Demuestre que $a=b=c$ y $u=v=w$ c) Sean $a,b,c,d$ números reales (no todos cero), y sea $f(x,y,z)$ el polinomio en tres variables definido por $$f(x,y,z) = axyz + b(xy + yz + zx) + c(x+y+z) + d$$ . Demuestre que $f(x,y,z)$ es reducible si y sólo si $a,b,c,d$ es una secuencia geométrica.

Tenemos una gran cantidad de sombreros negros, blancos, rojos y verdes. Y queremos dar $8$ de estos sombreros a $8$ estudiantes que están sentados alrededor de una mesa redonda. Encuentre el número de formas de hacer eso en cada uno de estos casos (asumiendo para los propósitos de este problema que los estudiantes no cambiarán sus lugares, y que los sombreros del mismo color son idénticos) a) Cada sombrero a ser usado debe ser rojo o verde. b) Exactamente dos sombreros de cada color deben ser usados c) Exactamente dos sombreros de cada color deben ser usados, y cada dos sombreros del mismo color deben ser dados a dos estudiantes adyacentes. d) Exactamente dos sombreros de cada color deben ser usados, y no dos sombreros del mismo color deben ser dados a dos estudiantes adyacentes. e) No hay restricciones en el número de sombreros de cada color que deben ser usados, pero no dos sombreros del mismo color deben ser dados a dos estudiantes adyacentes.