a) Sean $UVW$ , $U'V'W'$ dos triángulos tales que $ VW = V'W' , UV = U'V' , \angle WUV = \angle W'U'V'.$ Demuestre que los ángulos $\angle VWU , \angle V'W'U'$ son iguales o suplementarios. b) $ABC$ es un triángulo donde $\angle A$ es obtuso . Tome un punto $P$ dentro del triángulo , y extienda $AP,BP,CP$ para intersectar los lados $BC,CA,AB$ en $K,L,M$ respectivamente. Suponga que $PL = PM .$ 1) Si $AP$ biseca $\angle A$ , entonces demuestre que $AB = AC$ . 2) Encuentre los ángulos del triángulo $ABC$ si sabe que $AK,BL,CM$ son bisectrices de ángulos del triángulo $ABC$ y que $2AK = BL$ .

a) Suponga que $n$ es un entero impar. Demuestre que $k(n-k)$ es divisible por $2$ para todos los enteros positivos $k$. b) Encuentre un entero $k$ tal que $k(100-k)$ no sea divisible por $11$. c) Suponga que $p$ es un primo impar, y $n$ es un entero. Demuestre que existe un entero $k$ tal que $k(n-k)$ no es divisible por $p$. d) Suponga que $p,q$ son dos primos impares diferentes, y $n$ es un entero. Demuestre que existe un entero $k$ tal que $k(n-k)$ no es divisible por ninguno de $p,q$.

El punto $P$ está dentro de un triángulo equilátero con lado de longitud $10$ de manera que la distancia de $P$ a dos de los lados son $1$ y $3$. Encontrar la distancia de $P$ al tercer lado.

Considerar un cuadrilátero con $\angle DAB=60^{\circ}$ , $\angle ABC=90^{\circ}$ y $\angle BCD=120^{\circ}$. Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en $M$. Si $MB=1$ y $MD=2$ , encontrar el área del cuadrilátero $ABCD$.

Todos los ángulos del hexágono $ABCDEF$ son iguales. Demostrar que \[AB-DE=EF-BC=CD-FA \]

Sea $ABC$ un triángulo y sean $a,b,c$ las longitudes de los lados $BC, CA, AB$ respectivamente. Considerar un triángulo $DEF$ con las longitudes de los lados $EF=\sqrt{au}$ , $FD=\sqrt{bu}$ , $DE=\sqrt{cu}$. Demostrar que $\angle A >\angle B >\angle C$ implica $\angle A >\angle D >\angle E >\angle F >\angle C$.

Sea $ABC$ un triángulo. Encontrar todos los triángulos $XYZ$ con vértices dentro del triángulo $ABC$ tales que $XY,YZ,ZX$ y seis segmentos no intersecantes de los siguientes $AX, AY, AZ, BX, BY, BZ, CX, CY, CZ$ dividen el triángulo $ABC$ en siete regiones con áreas iguales.

Dado un triángulo $ABC$. Encontrar todos los segmentos $XY$ que yacen dentro del triángulo tales que $XY$ y cinco de los segmentos $XA,XB, XC, YA,YB,YC$ dividen el triángulo $ABC$ en $5$ regiones con áreas iguales. Además, demostrar que todos los segmentos $XY$ tienen un punto común.

Dado un triángulo $ABC$. Encontrar todos los pares de puntos $X,Y$ tales que $X$ está en los lados del triángulo, $Y$ está dentro del triángulo, y cuatro segmentos no intersecantes del conjunto $\{XY, AX, AY, BX,BY, CX, CY\}$ dividen el triángulo $ABC$ en cuatro triángulos con áreas iguales.

Encontrar todas las ternas $(x,y,z)$ de números reales tales que \[2x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{z-1}+2z\sqrt{x-1} \ge xy+yz+zx \]