La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. egxa 219 publicaciones egxa #1 h 27 de abril de 2025, 7:57 a. m. • 3 Y Y por Miquel-point, PikaPika999, Mysteriouxxx Hay $n$ ciudades en un país, donde $n \geq 100$ es un entero. Algunos pares de ciudades están conectados por vuelos directos (de doble sentido). Para dos ciudades $A$ y $B$ definimos: $(i)$ Un $\emph{camino}$ entre $A$ y $B$ como una sucesión de ciudades distintas $A = C_0, C_1, \dots, C_k, C_{k+1} = B$, $k \geq 0$, tal que existen vuelos directos entre $C_i$ y $C_{i+1}$ para todo $0 \leq i \leq k$; $(ii)$ Un $\emph{camino largo}$ entre $A$ y $B$ como un camino entre $A$ y $B$ tal que ningún otro camino entre $A$ y $B$ tiene más ciudades; $(iii)$ Un $\emph{camino corto}$ entre $A$ y $B$ como un camino entre $A$ y $B$ tal que ningún otro camino entre $A$ y $B$ tiene menos ciudades. Suponga que para cualquier par de ciudades $A$ y $B$ en el país, existen un camino largo y un camino corto entre ellas que no tienen ciudades en común (excepto $A$ y $B$). Sea $F$ el número total de pares de ciudades en el país que están conectados por vuelos directos. En términos de $n$, encuentre todos los valores posibles de $F$. Propuesto por David-Andrei Anghel, Rumania. Esta publicación ha sido editada 6 veces. Última edición por egxa, 27 de abril de 2025, 4:59 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. eduD_looC 6616 publicaciones eduD_looC #1 h 10 de marzo de 2023, 7:26 PM Y William está pensando en un entero entre 1 y 50, inclusive. Victor puede elegir un entero positivo $m$ y preguntarle a William: "¿divide $m$ a tu número?", a lo cual William debe responder con la verdad. Victor continúa haciendo estas preguntas hasta que determina el número de William. ¿Cuál es el número mínimo de preguntas que Victor necesita para garantizar esto? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Orestis_Lignos 560 publicaciones Orestis_Lignos #1 h 28 de junio de 2024, 12:24 a. m. • 4 Y Y por Rounak_iitr, lian_the_noob12, ehuseyinyigit, farhad.fritl Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y $\omega$ su circunferencia circunscrita. La recta tangente a $\omega$ en $A$ corta a la recta $BC$ en $D$ y sea $E$ un punto en $\omega$ tal que $BE$ es paralela a $AD$. $DE$ corta al segmento $AB$ y a $\omega$ en $F$ y $G$, respectivamente. La circunferencia circunscrita de $BGF$ corta a $BE$ en $N$. La recta $NF$ corta a las rectas $AD$ y $EA$ en $S$ y $T$, respectivamente. Demuestre que $DGST$ es cíclico. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 8 de sep. de 2010, 5:13 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que el producto de cinco enteros positivos consecutivos no puede ser el cuadrado de un entero. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 8 de sep. de 2010, 5:19 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que el volumen de un tetraedro inscrito en un cilindro circular recto de volumen $1$ no excede $\frac{2}{3 \pi}.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 8 de sep. de 2010, 5:02 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 (a) Decida si las casillas de un tablero de ajedrez de $8 \times 8$ pueden ser numeradas con los números $1, 2, \dots , 64$ de tal manera que la suma de los cuatro números en cada una de sus partes de una de las formas http://www.artofproblemsolving.com/Forum/download/file.php?id=28446 sea divisible por cuatro. (b) Resuelva el problema análogo para http://www.artofproblemsolving.com/Forum/download/file.php?id=28447 Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ahiles 374 publicaciones Ahiles #1 h 25 de junio de 2008, 6:55 AM • 6 Y Y por ahmedosama, Vietjung, Adventure10, Mango247 y otros 2 usuarios Encuentre todos los números primos $ p,q,r$ , tales que $ \frac{p}{q}-\frac{4}{r+1}=1$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Orestis_Lignos 560 publicaciones Orestis_Lignos #1 h 28 de junio de 2024, 12:14 a. m. Y por Hay $n$ bloques colocados en los cuadrados unitarios de un tablero de ajedrez de $n \times n$ de tal manera que hay exactamente un bloque en cada fila y cada columna. Encuentre el valor máximo $k$, en términos de $n$, tal que independientemente de cómo estén dispuestos los bloques, podamos colocar $k$ torres en el tablero sin que ninguna de ellas amenace a otra. (Dos torres no se amenazan entre sí si hay un bloque situado entre ellas.) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. eduD_looC 6616 publicaciones eduD_looC #1 h 10 de mar. de 2023, 7:27 p. m. Y por Hay 20 estudiantes en una clase de bachillerato, y cada estudiante tiene exactamente tres amigos cercanos en la clase. Cinco de los estudiantes han comprado entradas para un próximo concierto. Si algún estudiante ve que al menos dos de sus amigos cercanos han comprado entradas, entonces él también comprará una entrada. ¿Es posible que toda la clase compre entradas para el concierto? (Suponga que la amistad es mutua; si el estudiante $A$ es amigo cercano del estudiante $B$, entonces $B$ es amigo cercano del estudiante $A$). Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por eduD_looC, 10 de mar. de 2023, 7:36 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 12 de oct. de 2010, 1:20 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Suponga que el plano bisector del ángulo diedro en la arista $AB$ del tetraedro $ABCD$ corta a la arista $CD$ en el punto $E$. Denotemos por $S_1, S_2, S_3$, respectivamente, las áreas de los triángulos $ABC, ABE$ y $ABD$. Demuestre que no existe un tetraedro para el cual $S_1, S_2, S_3$ (en este orden) formen una progresión aritmética o geométrica. Z K Y