La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Erken 1363 publicaciones Erken #1 h 17 de ene. de 2009, 10:13 a. m. • 3 Y Y por amatysten, Adventure10, Mango247 Encuentre todos los $ a$ reales tales que exista una función $ f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfaga la siguiente desigualdad: \[ x+af(y)\leq y+f(f(x)) \] para todo $ x,y\in\mathbb{R}$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 10 de oct. de 2010, 12:23 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario más. El círculo inscrito en el triángulo $A_1A_2A_3$ es tangente a sus lados $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_1$ en los puntos $T_1, T_2, T_3$, respectivamente. Denotemos por $M_1, M_2, M_3$ los puntos medios de los segmentos $A_2A_3, A_3A_1, A_1A_2$, respectivamente. Demuestre que las perpendiculares trazadas por los puntos $M_1, M_2, M_3$ a las rectas $T_2T_3, T_3T_1, T_1T_2$ concurren en un punto. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 9 de oct. de 2010, 3:17 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Una caja de $2\times 2\times 12$ fija en el espacio debe llenarse con veinticuatro ladrillos de $1 \times 1 \times 2$. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 8 de sep. de 2010, 5:23 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En una permutación $(x_1, x_2, \dots , x_n)$ del conjunto $1, 2, \dots , n$, llamamos a un par $(x_i, x_j )$ discordante si $i < j$ y $x_i > x_j$. Sea $d(n, k)$ el número de tales permutaciones con exactamente $k$ pares discordantes. Encuentre $d(n, 2)$ y $d(n, 3).$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Erken 1363 publicaciones Erken #1 h 17 de ene. de 2009, 10:11 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, farhad.fritl Encuentre todos los pares de enteros $(x,y)$ tales que \[ x^2 - 2009y + 2y^2 = 0 \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 9 de oct. de 2010, 3:12 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(1)$ Comience con $a$ bolas blancas y $b$ bolas negras. $(2)$ Extraiga una bola al azar. $(3)$ Si la bola es blanca, entonces deténgase. De lo contrario, añada dos bolas negras y vuelva al paso $2$. Sea $S$ el número de extracciones antes de que el proceso termine. Solo para los casos $a = b = 1$ y $a = b = 2$, encuentre $a_n = P(S = n)$, $b_n = P(S \le n)$, $\lim_{n\to\infty} b_n$, y el valor esperado del número de bolas extraídas: $E(S) =\displaystyle\sum_{n\ge1} na_n.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de sep. de 2022, 6:15 p. m. Y por Inicialmente, el número $1$ está escrito en la pizarra. En cada paso, el número en la pizarra se borra y se escribe otro, el cual se obtiene aplicando cualquiera de las siguientes operaciones: Operación A: Multiplicar el número en la pizarra por $\frac12$. Operación B: Restar el número en la pizarra de $1$. Por ejemplo, si el número $\frac38$ está en la pizarra, puede ser reemplazado por $\frac12 \frac38=\frac{3}{16}$ o por $1-\frac38=\frac58$. Proporcione una secuencia de pasos después de la cual el número en la pizarra sea $\frac{2009}{2^{20009}}$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 19 de sep. de 2022, 6:15 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 12 de oct. de 2010, 1:17 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En el plano de un triángulo dado $A_1A_2A_3$, determine (con demostración) una línea recta $l$ tal que la suma de las distancias desde $A_1, A_2$ y $A_3$ a $l$ sea la menor posible. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. danepale 99 publicaciones danepale #1 h 25 de ago. de 2016, 9:40 a. m. • 2 Y Y por rightways, Adventure10 Para un entero positivo $n$, se da la ecuación $a^2 + b^2 + c^2 + n = abc$ en los enteros positivos. Demuestre que: 1. No existe una solución $(a, b, c)$ para $n = 2017$. 2. Para $n = 2016$, $a$ es divisible por $3$ para todas las soluciones $(a, b, c)$. 3. Existen infinitas soluciones $(a, b, c)$ para $n = 2016$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. cjquines0 510 publicaciones cjquines0 #1 h 4 de junio de 2016, 8:21 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo. Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo en $A$ con $BC$. Sea $T$ el punto de intersección de la recta tangente al circuncírculo del triángulo $ABC$ en el punto $A$ con la recta que pasa por $B$ y $C$. Sea $I$ el punto de intersección de la recta perpendicular a $AT$ que pasa por el punto $D$ con la altura $h_a$ del triángulo en el punto $A$. Sea $P$ el punto medio de $AB$, y sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Sea $M$ el punto de intersección de $AB$ y $TI$, y sea $F$ el punto de intersección de $PT$ y $AD$. Demuestre que $MF$ y $AO$ son perpendiculares entre sí. Z K Y