Sean $x,y,a,b$ números reales positivos tales que $x\not= y$ , $x\not= 2y$ , $y\not= 2x$ , $a\not=3b$ y $\frac{2x-y}{2y-x}=\frac{a+3b}{a-3b}$. Demostrar que $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}\ge 1$.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos con $m\le 2000$ y $k=3-\frac{m}{n}$. Encontrar el valor positivo más pequeño de $k$.

Demostrar que \[ \sqrt{(1^k+2^k)(1^k+2^k+3^k)\ldots (1^k+2^k+\ldots +n^k)}\] \[ \ge 1^k+2^k+\ldots +n^k-\frac{2^{k-1}+2\cdot 3^{k-1}+\ldots + (n-1)\cdot n^{k-1}}{n}\] para todos los enteros $n,k \ge 2$.

Considerar una secuencia de enteros positivos $x_n$ tal que: \[(\text{A})\ x_{2n+1}=4x_n+2n+2 \] \[(\text{B})\ x_{3n+2}=3x_{n+1}+6x_n \] para todo $n\ge 0$. Demostrar que \[(\text{C})\ x_{3n-1}=x_{n+2}-2x_{n+1}+10x_n \] para todo $n\ge 0$.

Demostrar que para cualquier entero $n$ uno puede encontrar enteros $a$ y $b$ tales que \[n=\left[ a\sqrt{2}\right]+\left[ b\sqrt{3}\right] \]

Demostrar que no existen enteros $x,y,z$ tales que \[x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2=2000 \]

Encontrar todas las ternas $(x,y,z)$ de enteros positivos tales que $xy+yz+zx-xyz=2$.

Encontrar todos los enteros positivos $a,b$ para los cuales $a^4+4b^4$ es un número primo.

Encontrar todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ tales que los números $A=n^2+2mn+3m^2+3n$ , $B=2n^2+3mn+m^2$ , $C=3n^2+mn+2m^2$ son consecutivos en algún orden.

Encontrar todos los números de cuatro dígitos tales que cuando se descomponen en factores primos, cada número tiene la suma de sus factores primos igual a la suma de los exponentes.