Encontrar todos los pares de enteros $(m,n)$ tales que los números $A=n^2+2mn+3m^2+2$ , $B=2n^2+3mn+m^2+2$ , $C=3n^2+mn+2m^2+1$ tienen un divisor común mayor que $1$.

Encontrar todos los enteros escritos como $\overline{abcd}$ en representación decimal y $\overline{dcba}$ en base $7$.

Encontrar el mayor entero positivo $x$ tal que $23^{6+x}$ divide a $2000!$

Encontrar todos los cubos perfectos positivos que no son divisibles por $10$ tales que el número obtenido al borrar los últimos tres dígitos también es un cubo perfecto.

Demostrar que existen al menos $666$ números compuestos positivos con $2006$ dígitos, que tienen un dígito igual a $7$ y todos los demás iguales a $1$.

Una tabla de $5 \times 100$ está dividida en $500$ celdas cuadradas unitarias, donde $n$ de ellas están coloreadas de negro y el resto están coloreadas de blanco. Dos celdas cuadradas unitarias se llaman adyacentes si comparten un lado común. Cada una de las celdas cuadradas unitarias tiene como máximo dos celdas cuadradas unitarias negras adyacentes. Encuentra el mayor valor posible de $n$.

El triángulo $ABC$ es tal que $AB < AC$ . La bisectriz perpendicular del lado $BC$ interseca las líneas $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ , y sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $PQ$ , respectivamente. Demuestra que las líneas $HM$ y $AN$ se encuentran en la circunferencia circunscrita de $ABC$.

Sean $a$ , $b$ dos números reales distintos y sea $c$ un número real positivo tal que $a^4 - 2019a = b^4 - 2019b = c$ . Demuestra que $- \sqrt{c} < ab < 0$.

Encuentra todos los números primos $p$ para los cuales existen enteros positivos $x$ , $y$ , y $z$ tales que el número $x^p + y^p + z^p - x - y - z$ es un producto de exactamente tres números primos distintos.

Tres amigos Archie, Billie y Charlie juegan un juego. Al comienzo del juego, cada uno de ellos tiene una pila de $2024$ guijarros. Archie hace el primer movimiento, Billie hace el segundo, Charlie hace el tercero y continúan haciendo movimientos en el mismo orden. En cada movimiento, el jugador que realiza el movimiento debe elegir un entero positivo $n$ mayor que cualquier número elegido previamente por cualquier jugador, tomar $2n$ guijarros de su pila y distribuirlos por igual a los otros dos jugadores. Si un jugador no puede hacer un movimiento, el juego termina y ese jugador pierde el juego. $\hspace{5px}$ Determina todos los jugadores que tienen una estrategia tal que, independientemente de cómo jueguen los otros dos jugadores, no perderán el juego.