Encuentra todas las ternas de enteros positivos $(x, y, z)$ que satisfacen la ecuación $$2020^x + 2^y = 2024^z.$$

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB < AC$. Sea la circunferencia exinscrita opuesta a $A$ tangente a las líneas $AB, AC$ y $BC$ en los puntos $D, E$ y $F$, respectivamente, y sea $J$ su centro. Sea $P$ un punto en el lado $BC$. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BDP$ y $CEP$ se intersecan por segunda vez en $Q$. Sea $R$ el pie de la perpendicular desde $A$ a la línea $FJ$. Demuestra que los puntos $P, Q$ y $R$ son colineales. (La circunferencia exinscrita de un triángulo $ABC$ opuesta a $A$ es el círculo que es tangente al segmento de línea $BC$, al rayo $AB$ más allá de $B$ y al rayo $AC$ más allá de $C$.)

Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{4}.$$ Demuestra que $$\frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \le \frac{\sqrt{2}}{(a + b)(b + c)(c + a)}.$$

En un torneo de tenis participaron $2n$ niños y $n$ niñas. Cada jugador jugó con todos los demás jugadores. Los niños ganaron $\frac 75$ veces más partidos que las niñas. Se sabe que no hubo empates. Encuentra $n$.

Un semicírculo de diámetro $EF$ se coloca en el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ y es tangente a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $Q$ y $P$ respectivamente. Demuestra que el punto de intersección $K$ entre las líneas $EP$ y $FQ$ se encuentra en la altura desde $A$ del triángulo $ABC$.

Encuentra todos los enteros positivos $n\geq 1$ tales que $n^2+3^n$ es el cuadrado de un entero.

Sean $x$ e $y$ números reales positivos tales que \[ x^3 + y^3 + (x + y)^3 + 30xy = 2000. \] Demuestra que $x + y = 10$.

En el lenguaje marciano, cada secuencia finita de letras del alfabeto latino es una palabra. La editorial 'Palabras Marcianas' hace una colección de todas las palabras en muchos volúmenes. En el primer volumen hay solo palabras de una letra, en el segundo, palabras de dos letras, etc., y la numeración de las palabras en cada uno de los volúmenes continúa la numeración del volumen anterior. Encuentre la palabra cuya numeración es igual a la suma de las numeraciones de las palabras Praga, Olimpiada, Matemáticas.

Con las medianas de un triángulo acutángulo se construye otro triángulo. Si $R$ y $R_m$ son los radios de los círculos circunscritos sobre el primer y el segundo triángulo, respectivamente, demuestre que \[R_m>\frac{5}{6}R\]

Sean $1=d_1<d_2<....<d_k=n$ todos los divisores diferentes del entero positivo n escritos en orden ascendente. Determine todos los n tales que: \[d_6^{2} +d_7^{2} - 1=n\]