Un tetraedro está inscrito en una esfera de radio $1$ tal que el centro de la esfera está dentro del tetraedro. Pruebe que la suma de las longitudes de todas las aristas del tetraedro es mayor que 6.

Para una matriz $(p_{ij})$ del formato $m\times n$ con entradas reales, sea \[a_i =\displaystyle\sum_{j=1}^n p_{ij}\text{ para }i = 1,\cdots,m\text{ y }b_j =\displaystyle\sum_{i=1}^m p_{ij}\text{ para }j = 1, . . . , n\longrightarrow(1)\] Al enterar un número real, queremos decir reemplazar el número con el entero más cercano a él. Pruebe que enterar los números $a_i, b_j, p_{ij}$ puede hacerse de tal manera que $(1)$ aún se cumpla.

Dentro del triángulo $ABC$ hay tres círculos $k_1, k_2, k_3$ cada uno de los cuales es tangente a dos lados del triángulo y a su incírculo $k$ . Los radios de $k_1, k_2, k_3$ son $1, 4$ , y $9$ . Determine el radio de $k.$

Desde un punto $P$ exterior a un círculo $K$ , se dibujan dos rayos que intersecan a $K$ en los respectivos pares de puntos $A, A'$ y $B,B' $ . Para cualquier otro par de puntos $C, C'$ en $K$ , sea $D$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $PAC$ y $PB'C'$ distinto del punto $P$ . Similarmente, sea $D'$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $PA'C'$ y $PBC$ distinto del punto $P$ . Pruebe que los puntos $P, D$ , y $D'$ son colineales.

Una moneda justa se lanza repetidamente hasta que haya una racha de un número impar de caras seguidas de una cruz. Determine el número esperado de lanzamientos.

Determina todos los pares $(a, b)$ de números reales positivos con $a \neq 1$ tales que $\log_a b < \log_{a+1} (b + 1).$

Determina el entero positivo más pequeño $m$ tal que $529^n+m\cdot 132^n$ es divisible por $262417$ para todos los enteros positivos impares $n$.

Sea $(a_n)_1^{\infty}$ una sucesión tal que $a_n \le a_{n+m} \le a_n + a_m$ para todos los enteros positivos $n$ y $m$. Demuestra que $\frac{a_n}{n}$ tiene un límite cuando $n$ tiende a infinito.

Sean $a, b, c, d$ una permutación de los números $1, 9, 8, 4$ y sea $n = (10a + b)^{10c+d}$. Encuentra la probabilidad de que $1984!$ sea divisible por $n$.

Sean $a, b, c$ enteros no negativos tales que $a \le b \le c, 2b \neq a + c$ y $\frac{a+b+c}{3}$ es un entero. ¿Es posible encontrar tres enteros no negativos $d, e$ y $f$ tales que $d \le e \le f, f \neq c$, y tales que $a^2+b^2+c^2 = d^2 + e^2 + f^2$?