La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 13 de oct. de 2010, 10:56 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Determine los enteros positivos $p, q$ y $r$ tales que la diagonal de un bloque que consiste en cubos unitarios de $p\times q\times r$ pase exactamente a través de $1984$ de los cubos unitarios, mientras que su longitud sea mínima. (Se dice que la diagonal pasa a través de un cubo unitario si tiene más de un punto en común con el cubo unitario.) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TheLastHatter 16 publicaciones TheLastHatter #1 h 6 de dic. de 2025, 9:50 a. m. • 1 Y Y por bin_sherlo Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y sea $P$ un punto en el plano. La recta $AP$ interseca a la mediatriz de $BC$ en el punto $A'$. Los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera análoga. Suponga que $A, B, C, P, A', B', C', O$ son puntos distintos. Demuestre que los circuncircunferencias de los triángulos $AA'O, BB'O$ y $CC'O$ concurren en un punto distinto de $O$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por TheLastHatter, 6 de dic. de 2025, 9:50 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 7 de mayo de 2010, 1:50 PM • 8 Y Y por anantmudgal09, Amir Hossein, centslordm, FishHeadTail, Adventure10, Exponent11 y otros 2 usuarios Sea $ABC$ un triángulo acutángulo que satisface las condiciones $AB>BC$ y $AC>BC$. Denotemos por $O$ y $H$ al circuncentro y al ortocentro, respectivamente, del triángulo $ABC.$ Suponga que el circuncírculo del triángulo $AHC$ corta a la recta $AB$ en $M$ distinto de $A$, y que el circuncírculo del triángulo $AHB$ corta a la recta $AC$ en $N$ distinto de $A.$ Demuestre que el circuncentro del triángulo $MNH$ yace sobre la recta $OH$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 11 de nov. de 2005, 3:00 p. m. • 3 Y Y por Davi-8191, Adventure10, Mango247 Encuentre un par de enteros positivos $a,b$ tales que $ab(a+b)$ no sea divisible por $7$, pero $(a+b)^7-a^7-b^7$ sea divisible por $7^7$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TheLastHatter 16 publicaciones TheLastHatter #1 h 7 de dic. de 2025, 9:49 a. m. • 1 Y Y por LHE96 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno donde $BC$ es el lado más pequeño. Los puntos $D$ y $E$ se encuentran en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, satisfaciendo $AD = DC$ y $AE = EB$. Sean $B'$ y $C'$ las reflexiones de $B$ y $C$ con respecto a $DE$. Las rectas $AB'$ y $AC'$ cortan la recta $BC$ en $F$ y $G$, respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ADF$ y $AEG$ son tangentes.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Orestis_Lignos 560 publicaciones Orestis_Lignos #1 h 28 de junio de 2024, 12:04 a. m. • 1 Y Y por GeoKing Sean $a \geq b \geq 1 \geq c \geq 0$ números reales tales que $a+b+c=3$. Demuestre que $$3 \left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right ) \geq 4c^2+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}$$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Bexultan 178 publicaciones Bexultan #1 h 24 de abr. de 2023, 5:26 a. m. Y por Todas las celdas de un tablero de $10\times10$ están coloreadas de blanco inicialmente. Dos jugadores juegan un juego con turnos alternos. Un movimiento consiste en colorear de negro cualquier celda no coloreada. Se considera que un jugador pierde si, después de su movimiento, no queda ningún dominó blanco. ¿Cuál de los jugadores tiene una estrategia ganadora? Propuesto por A. Khrabrov Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Bexultan, 26 de oct. de 2024, 7:51 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. danepale 99 publicaciones danepale #1 h 24 de ago. de 2016, 8:23 a. m. • 3 Y Y por Davi-8191, Adventure10, Mango247 Sea $n \ge 2$ un entero, y sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reales para los cuales: (a) $x_j > -1$ para $j = 1, 2, \ldots, n$ y (b) $x_1 + x_2 + \ldots + x_n = n.$ Demuestre que $$ \sum_{j = 1}^{n} \frac{1}{1 + x_j} \ge \sum_{j = 1}^{n} \frac{x_j}{1 + x_j^2} $$ y determine cuándo ocurre la igualdad. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NO_SQUARES 1164 publicaciones NO_SQUARES #1 h 22 de sep. de 2024, 9:09 a. m. • 1 Y Y por GeoKing En un triángulo escaleno $ABC$ se trazó la bisectriz $AK$. El diámetro $XY$ de su circunferencia circunscrita es perpendicular a $AK$ (el orden de los puntos en la circunferencia circunscrita es $B-X-A-Y-C$). Un círculo, que pasa por los puntos $X$ e $Y$, corta a los segmentos $BK$ y $CK$ en los puntos $T$ y $Z$ respectivamente. Demuestre que si $KZ=KT$, entonces $XT \perp YZ$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 28 de sep. de 2022, 12:55 p. m. Y por Diremos que un conjunto de números reales $A = (a_1,... , a_{17})$ es más fuerte que el conjunto de números reales $B = (b_1, . . . , b_{17})$, y escribiremos $A >B$ si entre todas las desigualdades $a_i > b_j$ el número de desigualdades verdaderas es al menos $3$ veces mayor que el número de falsas. Demuestre que no existe una cadena de conjuntos $A_1, A_2, . . . , A_N$ tal que $A_1>A_2> \cdots A_N>A_1$. Observación: Para 11.4, la constante $3$ se cambia a $2$ y $N=3$, y $17$ se cambia a $m$ y $n$ en la definición (el número de elementos no tiene por qué ser igual). Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por a_507_bc, 29 de sep. de 2022, 7:38 a. m. Z K Y