Sean $a, b, c$ números naturales tales que $a+b+c = 2pq(p^{30}+q^{30}), p > q$ siendo dos enteros positivos dados. $(a)$ Demuestra que $k = a^3 + b^3 + c^3$ no es un número primo. $(b)$ Demuestra que si $a\cdot b\cdot c$ es máximo, entonces $1984$ divide a $k$ .

Sea $P$ un polígono plano convexo con ángulos iguales. Sean $l_1,\cdots, l_n$ sus lados. Demuestra que una condición necesaria y suficiente para que $P$ sea regular es que la suma de las razones $\frac{l_i}{l_{i+1}} (i = 1,\cdots, n; l_{n+1}= l_1)$ sea igual al número de lados.

Encuentra una secuencia de números naturales $a_i$ tal que $a_i = \displaystyle\sum_{r=1}^{i+4} d_r$ , donde $d_r \neq d_s$ para $r \neq s$ y $d_r$ divide a $a_i$ .

Construye un triángulo escaleno tal que \[a(\tan B - \tan C) = b(\tan A - \tan C)\]

Dos ciclistas salen simultáneamente de un punto $P$ en una pista circular con velocidades constantes $v_1, v_2 (v_1 > v_2)$ y en el mismo sentido. Un peatón sale de $P$ al mismo tiempo, moviéndose con velocidad $v_3 = \frac{v_1+v_2}{12}$ . Si el peatón y los ciclistas se mueven en direcciones opuestas, el peatón se encuentra con el segundo ciclista $91$ segundos después de encontrarse con el primero. Si el peatón se mueve en la misma dirección que los ciclistas, el primer ciclista lo adelanta $187$ segundos antes de que lo haga el segundo. Encuentra el punto donde el primer ciclista adelanta al segundo ciclista la primera vez.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con la línea $CD$ siendo tangente al círculo en el diámetro $AB$ . Demostrar que la línea $AB$ es tangente al círculo en el diámetro $CD$ si y sólo si las líneas $BC$ y $AD$ son paralelas.

Sea $n > 1$ y $x_i \in \mathbb{R}$ para $i = 1,\cdots, n$ . Sea \[S_k = x_1^k+ x^k_2+\cdots+ x^k_n\] para $k \ge 1$ . Si $S_1 = S_2 =\cdots= S_{n+1}$ , demostrar que $x_i \in \{0, 1\}$ para todo $i = 1, 2,\cdots, n.$

Sea $ABC$ un triángulo con bisectrices de ángulos interiores $AA_1, BB_1, CC_1$ e incentro $I$ . Si $\sigma[IA_1B] + \sigma[IB_1C] + \sigma[IC_1A] = \frac{1}{2}\sigma[ABC]$ , donde $\sigma[ABC]$ denota el área de $ABC$ , demostrar que $ABC$ es isósceles.

Dados los puntos $O$ y $A$ en el plano. Cada punto en el plano está coloreado con uno de un número finito de colores. Dado un punto $X$ en el plano, el círculo $C(X)$ tiene centro $O$ y radio $OX+{\angle AOX\over OX}$ , donde $\angle AOX$ se mide en radianes en el rango $[0,2\pi)$ . Demostrar que podemos encontrar un punto $X$ , no en $OA$ , tal que su color aparece en la circunferencia del círculo $C(X)$ .

Sean $a,b,c$ números positivos con $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}= \frac{\sqrt{3}}{2}$ Demuestra que el sistema de ecuaciones \n\[\sqrt{y-a}+\sqrt{z-a}=1\] \n\[\sqrt{z-b}+\sqrt{x-b}=1\] \n\[\sqrt{x-c}+\sqrt{y-c}=1\] \ntiene exactamente una solución $(x,y,z)$ en números reales.