La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 8 de sep. de 2010, 5:21 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Los ángulos de un triángulo dado $ABC$ son todos menores que $120^\circ$. Se construyen triángulos equiláteros $AFB, BDC$ y $CEA$ en el exterior de $ABC$. (a) Demuestre que las rectas $AD, BE$ y $CF$ pasan por un mismo punto $S$. (b) Demuestre que $SD + SE + SF = 2(SA + SB + SC)$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 12 de oct. de 2010, 12:37 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $f_1(x) = x^3+a_1x^2+b_1x+c_1 = 0$ una ecuación con tres raíces positivas $\alpha>\beta>\gamma > 0$. A partir de la ecuación $f_1(x) = 0$, se construye la ecuación $f_2(x) = x^3 +a_2x^2 +b_2x+c_2 = x(x+b_1)^2 -(a_1x+c_1)^2 = 0$. Continuando este proceso, obtenemos las ecuaciones $f_3,\cdots, f_n$. Demuestre que \[\lim_{n\to\infty}\sqrt[2^{n-1}]{-a_n} = \alpha\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. danepale 99 publicaciones danepale #1 h 24 de ago. de 2016, 8:29 a. m. • 2 Y Y por 62861, Adventure10 Hay $n \ge 3$ enteros positivos escritos en una pizarra. Un movimiento consiste en elegir tres números $a, b, c$ escritos en la pizarra tales que exista un triángulo no degenerado y no equilátero con lados $a, b, c$ y reemplazar esos números por $a + b - c, b + c - a$ y $c + a - b$. Demuestre que una sucesión de movimientos no puede ser infinita. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 10 de oct. de 2010, 11:59 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Determine si es posible colorear los $1984$ números naturales $1, 2, 3, \cdots, 1984$ usando $15$ colores de tal manera que no exista ninguna progresión geométrica de longitud $3$ del mismo color. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TheLastHatter 16 publicaciones TheLastHatter #1 h 7 de dic. de 2025, 10:54 a. m. Y Antonio y Nelson juegan un juego por turnos en un tablero de $45$ x $45$. Al inicio, todas las celdas están en blanco. Antonio juega en los turnos impares, comenzando por el turno $k=1$, y Nelson juega en los turnos pares. En el turno $k$, el jugador debe elegir un subtablero de $k$ x $k$ sin celdas negras y pintar exactamente una de ellas. El jugador que no pueda realizar su movimiento en su turno pierde. Proporcione una estrategia ganadora para uno de los jugadores. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por TheLastHatter, 7 de dic. de 2025, 11:21 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 8 de sep. de 2010, 4:45 a. m. • 3 Y Y por Math-Ninja, Adventure10, Mango247 Demuestre: (a) Existen infinitas ternas de enteros positivos $m, n, p$ tales que $4mn - m- n = p^2 - 1.$ (b) No existen enteros positivos $m, n, p$ tales que $4mn - m- n = p^2.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 7 de mayo de 2010, 1:36 PM • 5 Y Y por Amir Hossein, centslordm, Adventure10, Rounak_iitr, ItsBesi Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC \neq 90^{\circ}.$ Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ y $\Gamma$ el circuncírculo del triángulo $BOC.$ Suponga que $\Gamma$ interseca al segmento de recta $AB$ en $P$ distinto de $B$, y al segmento de recta $AC$ en $Q$ distinto de $C.$ Sea $ON$ el diámetro del círculo $\Gamma.$ Demuestre que el cuadrilátero $APNQ$ es un paralelogramo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 7 de mayo de 2010, 1:37 PM • 3 Y Y por Davi-8191, Tawan, Adventure10 Para un entero positivo $k,$ llame a un entero una $potencia$ $k$-ésima $pura$ si puede representarse como $m^k$ para algún entero $m.$ Demuestre que para todo entero positivo $n,$ existen $n$ enteros positivos distintos tales que su suma es una potencia $2009$-ésima pura y su producto es una potencia $2010$-ésima pura. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TheLastHatter 16 publicaciones TheLastHatter #1 h 7 de dic. de 2025, 10:48 a. m. Y por Sean $a$ , $b$ y $c$ números primos mayores que $7$ , los cuales son las longitudes de los lados de un triángulo que satisfacen $a \mid b^3 - c^3$ , $b \mid c^3 - a^3$ , $c \mid a^3 - b^3$ . Demuestre que $a$ , $b$ y $c$ son iguales. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por TheLastHatter, 7 de dic. de 2025, 10:55 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 10 de oct. de 2010, 11:49 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Los lados opuestos del hexágono reentrante $AFBDCE$ se cortan en los puntos $K,L,M$ (como se muestra en la figura). Se da que $AL = AM = a, BM = BK = b$ , $CK = CL = c, LD = DM = d, ME = EK = e, FK = FL = f$ . //cdn.artofproblemsolving.com/images/fad76261a0d1316c87c556c7b67ffd6d94dfec56.png $(a)$ Dada la longitud $a$ y los tres ángulos $\alpha, \beta$ y $\gamma$ en los vértices $A, B,$ y $C,$ respectivamente, que satisfacen la condición $\alpha+\beta+\gamma<180^{\circ}$ , demuestre que todos los ángulos y lados del hexágono quedan unívocamente determinados. $(b)$ Demuestre que \[\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\] Versión más sencilla de $(b)$ . Demuestre que \[(a + f)(b + d)(c + e)= (a + e)(b + f)(c + d)\] Z K Y