Sean $(a_n)_{n\ge 1}$ y $(b_n)_{n\ge 1}$ dos sucesiones de números naturales tales que $a_{n+1} = na_n + 1, b_{n+1} = nb_n - 1$ para todo $n\ge 1$ . Demostrar que estas dos sucesiones pueden tener sólo un número finito de términos en común.

Sea $X$ un conjunto no vacío arbitrario contenido en el plano y sean los conjuntos $A_1, A_2,\cdots,A_m$ y $B_1, B_2,\cdots, B_n$ sus imágenes bajo traslaciones paralelas. Supongamos que $A_1\cup A_2 \cup \cdots\cup A_m \subset B_1 \cup B_2 \cup\cdots\cup B_n$ y que los conjuntos $A_1, A_2,\cdots,A_m$ son disjuntos. Demuestra que $m \le n$ .

Sean $a,b,c,d$ enteros impares tales que $0<a<b<c<d$ y $ad=bc$ . Demuestra que si $a+d=2^k$ y $b+c=2^m$ para algunos enteros $k$ y $m$ , entonces $a=1$ .

Se da un triángulo $ABC$ para el cual $BC = AC + \frac{1}{2}AB$ . El punto $P$ divide a $AB$ tal que $BP : PA = 1 : 3$ . Demuestra que $\angle CAP = 2\angle CPA$.

Determinar enteros positivos $p, q$ y $r$ tales que la diagonal de un bloque que consta de $p \times q \times r$ cubos unitarios pase exactamente a través de $1984$ de los cubos unitarios, mientras que su longitud es mínima. (Se dice que la diagonal pasa a través de un cubo unitario si tiene más de un punto en común con el cubo unitario).

Encuentre un par de enteros positivos $a,b$ tales que $ab(a+b)$ no sea divisible por $7$, pero $(a+b)^7-a^7-b^7$ sea divisible por $7^7$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles, $AB = AC, \angle A = 20^{\circ}$. Sea $D$ un punto en $AB$, y $E$ un punto en $AC$ tal que $\angle ACD = 20^{\circ}$ y $\angle ABE = 30^{\circ}$. ¿Cuál es la medida del ángulo $\angle CDE$?

Determine todas las funciones continuas $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que \[f(x + y)f(x - y) = (f(x)f(y))^2, \quad \forall(x, y) \in\mathbb{R}^2.\]

Denotemos por $[x]$ el mayor entero que no excede a $x$. Para todo real $k > 1$, defina dos secuencias: \[a_n(k) = [nk]\text{ y } b_n(k) =\left[\frac{nk}{k - 1}\right]\] Si $A(k) = \{a_n(k) : n \in\mathbb{N}\}$ y $B(k) = \{b_n(k) : n \in \mathbb{N}\}$, demuestre que $A(k)$ y $B(k)$ forman una partición de $\mathbb{N}$ si y solo si $k$ es irracional.

El conjunto $\{1, 2, \cdots, 49\}$ se divide en tres subconjuntos. Demuestre que al menos uno de estos subconjuntos contiene tres números diferentes $a, b, c$ tales que $a + b = c$.