Demuestra que existen números naturales distintos $m_1,m_2, \cdots , m_k$ que satisfacen las condiciones $\pi^{-1984}<25-\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\cdots+\frac{1}{m_k}\right)<\pi^{-1960}$ donde $\pi$ es la razón entre un círculo y su diámetro.

Un país tiene $n$ ciudades y cada dos de ellas están unidas por un ferrocarril. Un trabajador ferroviario debe viajar en tren exactamente una vez por todo el sistema ferroviario (llegando a cada ciudad exactamente una vez). Si es imposible para el trabajador viajar en tren entre dos ciudades, puede viajar en avión. ¿Cuál es el número mínimo de vuelos que el trabajador tendrá que usar?

Sean $f_1(x) = x^3+a_1x^2+b_1x+c_1 = 0$ una ecuación con tres raíces positivas $\alpha>\beta>\gamma > 0$ . De la ecuación $f_1(x) = 0$ , se construye la ecuación $f_2(x) = x^3 +a_2x^2 +b_2x+c_2 = x(x+b_1)^2 -(a_1x+c_1)^2 = 0$ . Continuando este proceso, obtenemos ecuaciones $f_3,\cdots, f_n$ . Demuestra que $\lim_{n\to\infty}\sqrt[2^{n-1}]{-a_n} = \alpha$

Sea $ d$ la suma de las longitudes de todas las diagonales de un polígono convexo plano con $ n$ vértices (donde $ n>3$ ) . Sea $ p$ su perímetro. Demuestra que: $ n-3<{2d\over p}<\Bigl[{n\over2}\Bigr]\cdot\Bigl[{n+1\over 2}\Bigr]-2,$ donde $ [x]$ denota el mayor entero que no excede a $ x$.

Los ángulos de un triángulo dado $ABC$ son todos menores que $120^\circ$ . Triángulos equiláteros $AFB, BDC$ y $CEA$ se construyen en el exterior de $ABC$ . (a) Demuestra que las líneas $AD, BE$ , y $CF$ pasan por un punto $S.$ (b) Demuestra que $SD + SE + SF = 2(SA + SB + SC).$

Decida si es posible colorear los $1984$ números naturales $1, 2, 3, \cdots, 1984$ usando $15$ colores de modo que no exista una secuencia geométrica de longitud $3$ del mismo color.

Sea $S_n = \{1, \cdots, n\}$ y sea $f$ una función que mapea cada subconjunto de $S_n$ en un número real positivo y satisface la siguiente condición: Para todo $A \subseteq S_n$ y $x, y \in S_n, x \neq y, f(A \cup \{x\})f(A \cup \{y\}) \le f(A \cup \{x, y\})f(A)$. Pruebe que para todo $A,B \subseteq S_n$ la siguiente desigualdad se cumple: \[f(A) \cdot f(B) \le f(A \cup B) \cdot f(A \cap B)\]

Un 'triángulo numérico' $(t_{n, k}) (0 \le k \le n)$ se define por $t_{n,0} = t_{n,n} = 1 (n \ge 0),$ \[t_{n+1,m} =(2 -\sqrt{3})^mt_{n,m} +(2 +\sqrt{3})^{n-m+1}t_{n,m-1} \quad (1 \le m \le n)\] Pruebe que todos los $t_{n,m}$ son enteros.

La función $f(n)$ se define en los enteros no negativos $n$ por: $f(0) = 0, f(1) = 1$, y \[f(n) = f\left(n -\frac{1}{2}m(m - 1)\right)-f\left(\frac{1}{2}m(m+ 1)-n\right)\] para $\frac{1}{2}m(m - 1) < n \le \frac{1}{2}m(m+ 1), m \ge 2$. Encuentre el entero más pequeño $n$ para el cual $f(n) = 5$.

Un contenedor cilíndrico tiene una altura de $6 cm$ y un radio de $4 cm$. Descansa sobre un aro circular, también de radio $4 cm$, fijado en un plano horizontal con su eje vertical y con cada borde circular del cilindro tocando el aro en dos puntos. El cilindro se mueve ahora de manera que cada uno de sus bordes circulares todavía toque el aro en dos puntos. Encuentre con prueba el lugar geométrico de uno de los extremos verticales del cilindro.