La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. syk0526 202 publicaciones syk0526 #1 h 2 de abril de 2012, 10:06 a. m. • 9 Y Y por Davi-8191, nguyendangkhoa17112003, FaThEr-SqUiRrEl, centslordm, jhu08, megarnie, Adventure10, Mango247 y otro usuario más. Sea $ ABC $ un triángulo acutángulo. Denotemos por $ D $ el pie de la perpendicular trazada desde el punto $ A $ al lado $ BC $, por $ M $ el punto medio de $ BC $ y por $ H $ el ortocentro de $ ABC $. Sea $ E $ el punto de intersección de la circunferencia circunscrita $ \Gamma $ del triángulo $ ABC $ y la semirrecta $ MH $, y sea $ F $ el punto de intersección (distinto de $ E $) de la recta $ ED $ y el círculo $ \Gamma $. Demuestre que debe cumplirse $ \tfrac{BF}{CF} = \tfrac{AB}{AC} $. (Aquí denotamos $ XY $ como la longitud del segmento de recta $ XY $). Esta publicación ha sido editada 5 veces. Última edición por syk0526, 4 de abril de 2012, 1:48 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Erken 1363 publicaciones Erken #1 h 17 de ene. de 2009, 10:13 a. m. • 3 Y Y por amatysten, Adventure10, Mango247 Encuentre todos los $ a$ reales tales que exista una función $ f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfaga la siguiente desigualdad: \[ x+af(y)\leq y+f(f(x)) \] para todo $ x,y\in\mathbb{R}$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 10 de oct. de 2010, 11:38 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado un polígono convexo regular $P$ de $2m$ lados, demuestre que existe un polígono $\pi$ de $2m$ lados con los mismos vértices que $P$ (pero en un orden diferente) tal que $\pi$ tiene exactamente un par de lados paralelos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 7 de mayo de 2010, 1:39 PM • 3 Y Y por Davi-8191, Adventure10 y otro usuario más. Sea $n$ un entero positivo. $n$ personas participan en una determinada fiesta. Para cualquier par de participantes, o bien los dos se conocen entre sí o no se conocen. ¿Cuál es el número máximo posible de pares para los cuales los dos no se conocen pero tienen un conocido común entre los participantes? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 8 de sep. de 2010, 5:14 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $n$ un entero positivo y $a_1, a_2, \dots , a_{2n}$ enteros mutuamente distintos. Encuentre todos los enteros $x$ que satisfacen \[(x - a_1) \cdot (x - a_2) \cdots (x - a_{2n}) = (-1)^n(n!)^2.\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. danepale 99 publicaciones danepale #1 h 25 de agosto de 2016, 9:36 a. m. • 3 Y Y por Sylvestra, Adventure10, Mango247 Un entero positivo $n$ es Mozart si la representación decimal de la sucesión $1, 2, \ldots, n$ contiene cada dígito un número par de veces. Demuestre que: 1. Todos los números Mozart son pares. 2. Existen infinitos números Mozart. Z K Y

Considere un entero $n \ge 4$ y una sucesión de números reales $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$. Una operación consiste en eliminar todos los números que no tengan un rango de la forma $4k + 3$, dejando así solo los números $x_3, x_7, x_{11}, ...$ (por ejemplo, la sucesión $4, 5, 9, 3, 6, 6, 1, 8$ produce la sucesión $9, 1$). Sobre la sucesión $1, 2, 3, ..., 1024$ se realiza la operación sucesivamente $5$ veces. Demuestre que al final solo queda un número y encuentre dicho número.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 9 de octubre de 2010, 12:48 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $S_n = \{1, \cdots, n\}$ y sea $f$ una función que mapea cada subconjunto de $S_n$ a un número real positivo y satisface la siguiente condición: Para todo $A \subseteq S_n$ y $x, y \in S_n, x \neq y, f(A \cup \{x\})f(A \cup \{y\}) \le f(A \cup \{x, y\})f(A)$. Demuestre que para todo $A,B \subseteq S_n$ se cumple la siguiente desigualdad: \[f(A) \cdot f(B) \le f(A \cup B) \cdot f(A \cap B)\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TheLastHatter 16 publicaciones TheLastHatter #1 h 7 de dic. de 2025, 10:54 a. m. Y Antonio y Nelson juegan un juego por turnos en un tablero de $45$ x $45$. Al inicio, todas las celdas están en blanco. Antonio juega en los turnos impares, comenzando por el turno $k=1$, y Nelson juega en los turnos pares. En el turno $k$, el jugador debe elegir un subtablero de $k$ x $k$ sin celdas negras y pintar exactamente una de ellas. El jugador que no pueda realizar su movimiento en su turno pierde. Proporcione una estrategia ganadora para uno de los jugadores. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por TheLastHatter, 7 de dic. de 2025, 11:21 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Tintarn 9107 publicaciones Tintarn #1 h 28 de junio de 2024, 9:28 a. m. Y por Para un entero positivo $n$ , sea $\alpha(n)$ la media aritmética de los divisores de $n$ , y sea $\beta(n)$ la media aritmética de los números $k \le n$ tales que $\text{gcd}(k,n)=1$ . Determine todos los enteros positivos $n$ tales que $\alpha(n)=\beta(n)$ . Z K Y