Demuestra que el producto de cinco enteros positivos consecutivos no puede ser el cuadrado de un entero.

(a) Decide si los campos del tablero de ajedrez de $8 \times 8$ pueden ser numerados con los números $1, 2, \dots , 64$ de tal manera que la suma de los cuatro números en cada una de sus partes de una de las formas es divisible por cuatro.\n(b) Resuelve el problema análogo para

Una caja de $2\times 2\times 12$ fijada en el espacio debe ser llenada con veinticuatro ladrillos de $1 \times 1 \times 2$. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

En una permutación $(x_1, x_2, \dots , x_n)$ del conjunto $1, 2, \dots , n$ llamamos a un par $(x_i, x_j )$ discordante si $i < j$ y $x_i > x_j$ . Sea $d(n, k)$ el número de tales permutaciones con exactamente $k$ pares discordantes. Encuentra $d(n, 2)$ y $d(n, 3).$

Comienza con $a$ bolas blancas y $b$ bolas negras. \n(2) Extrae una bola al azar. \n(3) Si la bola es blanca, entonces detente. De lo contrario, agrega dos bolas negras y ve al paso 2. \nSea $S$ el número de extracciones antes de que el proceso termine. Para los casos $a = b = 1$ y $a = b = 2$ solamente, encuentra $a_n = P(S = n), b_n = P(S \le n), \lim_{n\to\infty} b_n$ , y el valor esperado del número de bolas extraídas: $E(S) =\displaystyle\sum_{n\ge1} na_n.$

Prueba que $0\le yz+zx+xy-2xyz\le{7\over27}$ , donde $x,y$ y $z$ son números reales no negativos que satisfacen $x+y+z=1$ .

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con ángulo recto en el punto $A$ . Encuentra el mínimo de la función $F$ dada por \[F(M) = BM +CM-\sqrt{3}AM\]

Sea $c$ el círculo inscrito del triángulo $ABC$ , $d$ una línea tangente a $c$ que no pasa por los vértices del triángulo $ABC$ . Demuestra la existencia de puntos $A_1,B_1, C_1$ , respectivamente, en las líneas $BC,CA,AB$ que satisfacen las siguientes dos propiedades: $(i)$ Las líneas $AA_1,BB_1$ , y $CC_1$ son paralelas. $(ii)$ Las líneas $AA_1,BB_1$ , y $CC_1$ se encuentran con $d$ respectivamente en los puntos $A' ,B'$ , y $C'$ tal que \[\frac{A'A_1}{A' A}=\frac{B'B_1}{B 'B}=\frac{C'C_1}{C'C}\]

Encuentra todas las soluciones del siguiente sistema de $n$ ecuaciones en $n$ variables: \[\begin{array}{c}\ x_1|x_1| - (x_1 - a)|x_1 - a| = x_2|x_2|,x_2|x_2| - (x_2 - a)|x_2 - a| = x_3|x_3|,\ \vdots x_n|x_n| - (x_n - a)|x_n - a| = x_1|x_1|\end{array}\] donde $a$ es un número dado.

La tabla armónica es un arreglo triangular: $1$ $\frac 12 \qquad \frac 12$ $\frac 13 \qquad \frac 16 \qquad \frac 13$ $\frac 14 \qquad \frac 1{12} \qquad \frac 1{12} \qquad \frac 14$ Donde $a_{n,1} = \frac 1n$ y $a_{n,k+1} = a_{n-1,k} - a_{n,k}$ para $1 \leq k \leq n-1.$ Encuentra la media armónica de la fila $1985^{th}$.