Considera todas las sumas de la forma \n\[\displaystyle\sum_{k=1}^{1985} e_kk^5=\pm 1^5\pm 2^5\pm\cdots\pm1985^5\] donde $e_k=\pm 1$ . ¿Cuál es el valor no negativo más pequeño alcanzado por una suma de este tipo?

Sea $c$ un entero positivo. La secuencia $\{f_n\}$ se define como sigue: \n\[f_1 = 1, f_2 = c, f_{n+1} = 2f_n - f_{n-1} + 2 \quad (n \geq 2).\]\nDemostrar que para cada $k \in \mathbb N$ existe $r \in \mathbb N$ tal que $f_kf_{k+1}= f_r.$

Demostrar: \n(a) Existen infinitos triples de enteros positivos $m, n, p$ tales que $4mn - m- n = p^2 - 1.$ \n(b) No existen enteros positivos $m, n, p$ tales que $4mn - m- n = p^2.$

Sea $n$ un entero positivo y $a_1, a_2, \dots , a_{2n}$ enteros mutuamente distintos. Encuentra todos los enteros $x$ que satisfacen \n\[(x - a_1) \cdot (x - a_2) \cdots (x - a_{2n}) = (-1)^n(n!)^2.\]

Demostrar que el volumen de un tetraedro inscrito en un cilindro circular recto de volumen $1$ no excede $\frac{2}{3 \pi}.$

Asuma que el plano bisector del ángulo diedro en el borde $AB$ del tetraedro $ABCD$ se encuentra con el borde $CD$ en el punto $E$ . Denotemos por $S_1, S_2, S_3$ , respectivamente, las áreas de los triángulos $ABC, ABE$ , y $ABD$ . Demuestre que no existe un tetraedro para el cual $S_1, S_2, S_3$ (en este orden) formen una progresión aritmética o geométrica.

El círculo inscrito en el triángulo $A_1A_2A_3$ es tangente a sus lados $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_1$ en los puntos $T_1, T_2, T_3$ , respectivamente. Denotemos por $M_1, M_2, M_3$ los puntos medios de los segmentos $A_2A_3, A_3A_1, A_1A_2$ , respectivamente. Demuestre que las perpendiculares a través de los puntos $M_1, M_2, M_3$ a las líneas $T_2T_3, T_3T_1, T_1T_2$ se encuentran en un punto.

En el plano de un triángulo dado $A_1A_2A_3$ determine (con demostración) una línea recta $l$ tal que la suma de las distancias desde $A_1, A_2$ , y $A_3$ a $l$ sea la menor posible.

Demuestre que para cualquier número natural $n$ , el número $\dbinom{2n}{n}$ divide al mínimo común múltiplo de los números $1, 2,\cdots, 2n -1, 2n$ .

Sean $P,Q,R$ los polinomios con coeficientes reales o complejos tales que al menos uno de ellos no es constante. Si $P^n+Q^n+R^n = 0$ , demuestre que $n < 3.$